4.5. Метод наименьших квадратов

Пусть в результате опыта установлено, что значениям величины х равным соответствуют значения величиныу: . Требуется установить вид функции, которая наилучшим образом описала бы полученную из опыта зависимость.

В функциональную зависимость общего вида, которая определяется из сути опыта, включим параметры: а, b, с, …, которые подберём таким образом, чтобы сумма квадратов разностей значений экспериментально полученных и вычисленных по формуле была наимень-шей, т.е.

Необходимые условия:

дают систему для определения параметров а, b, с, … .

Рассмотрим случай, когда аппроксимация (приближение) эксперимен-тальных данных осуществляется линейной зависимостью .

Тогда

и

т.е. система для определения коэффициентов а, b принимает вид

(9)

Если ввести обозначения:

то система (9) приводится к виду

(10)

Решая систему (10), получим

. (11)

Пример 3. В результате опыта получены следующие результаты

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4
y	0,95	1,25	1,42	1,50	1,85

Определить зависимость величины y от x, считая её линейной.

Здесь

Тогда по формулам (11) получаем

Дифференциальные уравнения Лекция № 38. Тема 1 : Введение

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.

Рассмотрим следующие две задачи.

1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.

где k  коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.

2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.

Согласно второму закону Ньютона имеем

, где , а.

Таким образом, получим .

Полученные соотношения представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения функций и являются математи-ческими моделями соответствующих физических процессов.

1.2. Определение дифференциального уравнения

Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется урав-нение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её производные: .

Его общий вид

. (1)

Дифференциальные уравнения, у которых функция у(х) является функцией одного переменного, называются обыкновенными ДУ.

Определение 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, для первой задачи – уравнение первого порядка, для второй – уравнение второго порядка.

Определение 3. Решением ДУ (1) называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ.

Замечание 1. Наряду с термином “решение ДУ“ употребляется термин “интеграл ДУ“, под которым, как правило, понимается решение ДУ, полученное неявно, т.е. в виде

Например, для дифференциального уравнения функциюобычно называют решением, а для ДУ выражение обычно называют интегралом уравнения.