- •Интегральное исчисление Лекция № 25. Тема 1: Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •Лекция № 26
- •1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Многочлены и рациональные дроби
- •Лекция № 27
- •1.8. Интегрирование рациональных дробей
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция № 28
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Понятие о неберущихся интегралах
- •Лекция № 29. Тема 2 : Определённый интеграл
- •2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
- •2.2. Определение определённого интеграла
- •2.3. Основные свойства определённого интеграла
- •4. .
- •2.4. Интеграл как функция верхнего предела
- •Лекция № 30
- •2.7. Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Лекция № 31. Тема 3 : Приложения определённого интеграла
- •3.1. Площадь плоской фигуры
- •3.2. Длина дуги плоской кривой
- •3.3. Площадь поверхности тела вращения
- •3.4. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Лекция № 32
- •3.5. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам физики
- •Тема 4 : Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами)
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций)
- •Функции нескольких переменных Лекция № 33. Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные
- •1.1. Определение функции нескольких переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производная сложной функции
- •2.4. Производная по направлению
- •2.5. Градиент функции
- •Лекция № 35
- •2.6. Касательная и нормаль к поверхности
- •Тема 3* : Векторная функция скалярного аргумента
- •3.1. Векторная функция. Предел. Непрерывность
- •3.2. Производная векторной функции
- •. Лекция № 36. Тема 4 : Экстремум функции нескольких переменных
- •4.1. Необходимые условия экстремума
- •4.2. Достаточные условия экстремума
- •4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
- •Лекция № 37
- •4.4. Условный экстремум
- •4.5. Метод наименьших квадратов
- •Дифференциальные уравнения Лекция № 38. Тема 1 : Введение
- •1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •1.2. Определение дифференциального уравнения
- •Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 39
- •2.3. Однородные уравнения
- •Лекция № 40. Тема 3 : ду высших порядков
- •3.1. Определение ду п-го порядка
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
- •Лекция № 41
- •4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
- •4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Лекция № 42
- •4.6. Лнду-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •6.2. Решение нормальных систем ду методом исключений
4.5. Метод наименьших квадратов
Пусть в результате опыта установлено, что значениям величины х равным соответствуют значения величиныу: . Требуется установить вид функции, которая наилучшим образом описала бы полученную из опыта зависимость.
В функциональную зависимость общего вида, которая определяется из сути опыта, включим параметры: а, b, с, …, которые подберём таким образом, чтобы сумма квадратов разностей значений экспериментально полученных и вычисленных по формуле была наимень-шей, т.е.
Необходимые условия:
дают систему для определения параметров а, b, с, … .
Рассмотрим случай, когда аппроксимация (приближение) эксперимен-тальных данных осуществляется линейной зависимостью .
Тогда
и
т.е. система для определения коэффициентов а, b принимает вид
(9)
Если ввести обозначения:
то система (9) приводится к виду
(10)
Решая систему (10), получим
. (11)
Пример 3. В результате опыта получены следующие результаты
x |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
y |
0,95 |
1,25 |
1,42 |
1,50 |
1,85 |
Определить зависимость величины y от x, считая её линейной.
Здесь
Тогда по формулам (11) получаем
Дифференциальные уравнения Лекция № 38. Тема 1 : Введение
1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.
Рассмотрим следующие две задачи.
1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.
где k коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.
2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.
Согласно второму закону Ньютона имеем
, где , а.
Таким образом, получим .
Полученные соотношения представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения функций и являются математи-ческими моделями соответствующих физических процессов.
1.2. Определение дифференциального уравнения
Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется урав-нение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её производные: .
Его общий вид
. (1)
Дифференциальные уравнения, у которых функция у(х) является функцией одного переменного, называются обыкновенными ДУ.
Определение 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.
Например, для первой задачи – уравнение первого порядка, для второй – уравнение второго порядка.
Определение 3. Решением ДУ (1) называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ.
Замечание 1. Наряду с термином “решение ДУ“ употребляется термин “интеграл ДУ“, под которым, как правило, понимается решение ДУ, полученное неявно, т.е. в виде
Например, для дифференциального уравнения функциюобычно называют решением, а для ДУ выражение обычно называют интегралом уравнения.