- •Интегральное исчисление Лекция № 25. Тема 1: Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •Лекция № 26
- •1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
- •1.6. Интегрирование по частям
- •1.7. Многочлены и рациональные дроби
- •Лекция № 27
- •1.8. Интегрирование рациональных дробей
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция № 28
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Понятие о неберущихся интегралах
- •Лекция № 29. Тема 2 : Определённый интеграл
- •2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
- •2.2. Определение определённого интеграла
- •2.3. Основные свойства определённого интеграла
- •4. .
- •2.4. Интеграл как функция верхнего предела
- •Лекция № 30
- •2.7. Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Лекция № 31. Тема 3 : Приложения определённого интеграла
- •3.1. Площадь плоской фигуры
- •3.2. Длина дуги плоской кривой
- •3.3. Площадь поверхности тела вращения
- •3.4. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Лекция № 32
- •3.5. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам физики
- •Тема 4 : Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами)
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций)
- •Функции нескольких переменных Лекция № 33. Тема 1 : Предел. Непрерывность. Частные производные
- •1.1. Определение функции нескольких переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производная сложной функции
- •2.4. Производная по направлению
- •2.5. Градиент функции
- •Лекция № 35
- •2.6. Касательная и нормаль к поверхности
- •Тема 3* : Векторная функция скалярного аргумента
- •3.1. Векторная функция. Предел. Непрерывность
- •3.2. Производная векторной функции
- •. Лекция № 36. Тема 4 : Экстремум функции нескольких переменных
- •4.1. Необходимые условия экстремума
- •4.2. Достаточные условия экстремума
- •4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
- •Лекция № 37
- •4.4. Условный экстремум
- •4.5. Метод наименьших квадратов
- •Дифференциальные уравнения Лекция № 38. Тема 1 : Введение
- •1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •1.2. Определение дифференциального уравнения
- •Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 39
- •2.3. Однородные уравнения
- •Лекция № 40. Тема 3 : ду высших порядков
- •3.1. Определение ду п-го порядка
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2
- •Лекция № 41
- •4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами
- •4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Лекция № 42
- •4.6. Лнду-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •6.2. Решение нормальных систем ду методом исключений
2.7. Интегрирование по частям в определённом интеграле
Если соответствующие интегралы существуют, то проинтегрируем от а до b формулу
.
Получим формулу интегрирования по частям
(3)
Замечание 4. Выражения для и и выбираются из таких соображе-ний, чтобы интеграл в правой части формулы (3) был известен.
Пример 5.
.
Аналогично, как и для неопределённого интеграла, формулу интегрирования по частям можно применять для вычисления интеграла неоднократно.
Пример 6.
Лекция № 31. Тема 3 : Приложения определённого интеграла
3.1. Площадь плоской фигуры
3.1.1. Площадь фигуры в ДСК.
Как известно, площадь криволинейной трапеции , если. Если же знакопеременная функция, то
де
В случае, если плоская фигура ограничена сверху кривой , а снизу – кривой, то
у
x
О а b
3.1.2. Площадь фигуры, если ее граница задана параметрическими уравнениями.
Пусть для криволинейной трапеции линия задана параметрическими уравнениями: при этом . Тогда, делая замену в интеграле, получаем
(1)
Пример 1. Найти площадь эллипса .
Запишем параметрические уравнения эллипса Тогда по формуле (1) в силу симметрии получим
3.1.3. Площадь в полярной системе координат
(площадь криволинейного сектора).
Рассмотрим фигуру, ограниченную двумя
лучами: , выходящими из полюса
и кривую . Определим её площадь.
Для этого разобьём её на п секторов с О P
площадью
Составим интегральную сумму
, (2)
где .
Переходя к пределу в формуле (2) при , имеем
(3)
Пример 2. Найти площадь кардиоиды
В силу симметрии, с учетом формулы (3),
получаем
а
2а О
3.2. Длина дуги плоской кривой
3.2.1. Кривая задана в ДСК.
Определим длину дуги АВ. Впишем в неё ломаную, длина которой
у
х
О а b
Воспользуемся теоремой Лагранжа: , где. Тогда
. (4)
Пример 3. Найти длину дуги линии при.
3.2.2. Линия задана параметрическими уравнениями.
Линия задана уравнениями и пусть. Тогда, заменяя переменную в интеграле (4), с учетом значе-ния производной от функции, заданной параметрическими уравнениями,из формулы (4) следует
(5)
Замечание. Выражения назы-ваются дифференциалами дуги.
Пример 4. Найти длину развертки окружности
Согласно формуле (5) получаем
3.2.3. Линия задана в полярной системе координат.
Рассматривая как параметр с учетом, чтои, получаем
Тогда из формулы следует
. (6)
Пример 5. Найти длину кардиоиды .
В силу симметрии по формуле (6) получаем