4.2. Достаточные условия экстремума

Теорема. Если в некоторой окрестности стационарной точки функцияимеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, то если:

1.  экстремум есть, при этом, если , а при.

2.  экстремума нет.

3.  ответа нет, требуются дополнительные исследования.

Здесь ;;.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Из данной системы, получаем ,

т.е. найдены две стационарные точки: .

В точке ,.

В точке экстремума нет.

Пример 4*. Канава для стока воды имеет в сечении равнобочную трапецию площадью S. Требуется определить размеры канавы, при которых были бы минимальные потери жидкости.

h



a

Если потери обозначить через Q, то они пропорциональны смоченному периметру сечения, т.е.

, где .

Три переменные связаны зависимостью

.

Таким образом, мы определили функцию

,

которую необходимо исследовать на экстремум. Имеем

;

;

.

Используя достаточные условия экстремума, можно показать, что эти значения определяют точку минимума.

4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

в замкнутой области

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений поступают, как и для случая функции одной переменной, а именно:

1. Определяют значения функции в критических точках, принадлежащих области;

2. Определяют наибольшие и наименьшие значения функции на границе области;

3. Из полученных значений выбирают наибольшее и наименьшее.

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в областиD :

у

А

3

1 О 1 3 х

С В

Область D  это треугольник АВС.

Определяем критические точки, принадлежащие области D

На границе .

.

Вычисляем значения функции на концах отрезка АВ

.

На границе .

.

Вычисляем значения функции на концах отрезка АС

.

На границе .

т.е. получили точку B.

Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

Лекция № 37

4.4. Условный экстремум

Определение 1. Условным экстремумом функции называ-ется экстремум, достигнутый при условии, что переменныех, у связаны уравнением

Геометрически задача состоит в том, чтобы на этой линии найти такую точку М₀, в которой значение функции было наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими значениями на этой линии в некоторой окрестности точкиМ₀. Такие точки называются точками условного (относительного) экстремума.

Рассмотрим геометрический смысл этого понятия на примере.

Пример 1. Графиком функции является верхняя полу-сфера. Рассмотрим прямую линию

z

O y

M₀

x

Для точек этой прямой, в силу симметрии, функция достигает макси-мального значения в точке . Это и есть точка условного макси-мума на линии.

Теперь сформулируем задачу, которую предстоит решить. Требуется найти точки условного экстремума функции при условиикоторое называетсяуравнением связи.

По правилу нахождения полной производной от функции , получим

(1)

В точках экстремума формула (1) принимает вид

(2)

Аналогично поступаем с уравнением связи

. (3)

Умножим выражение (3) на неопределённый множитель , сложим с выражением (2) и проведём группировку членов

. (4)

Подберём множительтак, чтобы в выражении (4) выполнялось

.

Тогда получим, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения:

(5)

Из системы (5) определяются х, у и множитель .

Условиям (5) можно придать другую форму, если ввести так назы-ваемую функцию Лагранжа

,

тогда система (5) примет вид

(6)

Рассмотренный приём называется методом множителей Лагранжа. Системы (5) или (6) представляют собой необходимые условия условного экстремума.

Достаточные условия существования условного экстремума опреде-ляются по знаку определителя

. (7)

Если в точке , то в этой точке условный максимум.

Если в точке , то условный минимум.

Если  ответа нет, требуются дополнительные исследования.

Метод множителей Лагранжа легко распространить для случая функции п переменных с т связями.

Пусть требуется найти условный экстремум функции при условиях

Для этого составляется функция Лагранжа

и приравниваются к нулю её частные производные

. (8)

Из системы (8) определяются и вспомогательные мно-жители.

Пример 2. Найти условный экстремум функции , если уравнение связи.

Составим функцию Лагранжа

.

Получим систему

Легко получить решение данной системы: .

Получили точку . Воспользуемся достаточными условиями экстремума. Вычислим в этой точке определитель (7)

т.е. М₀  точка условного максимума, .