
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 70. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 71
- •1.4. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 72. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 73
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 74
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Применение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 75. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 76.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
Теория функций комплексной переменной Лекция № 70. Определение функции комплексной переменной
1.1. Комплексные числа и действия над ними
Вначале введём понятие комплексного числа.
Определение 1.
Комплексным числом называется выражение
,
гдех
и у
действительные числа, а
мнимая единица.
Такая форма
представления комплексного числа
называется алгеб-раической формой
записи комплексного числа, при этом
используются обозначения:
действительная часть комплексного
числа,
мнимая часть комплексного числа.
Из этого определения следуют правила действия над комплексными числами:
Если
и
,
то
,
если
Определение 2.
Комплексные числа
и
называютсякомплексно
сопряженными.
Легко показать,
что
.
Тогда
Пример 1.
1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
комплексного числа
Между
комплексными числами
и точками
на плоскости можно установить
взаимнооднозначное соответствие. В
этом случае плоскость
называетсякомплексной
плоскостью,
координат-ные оси
соответственно действительной осью
и мнимой осью.
Тогда каждому комплексному
числу
ставится ву
соответствие
точка
или её радиус-вектор
.
О х
При этом полярные
координаты
точки, изображающей комп-лексное число,
называются соответственномодулем
и аргументом
комп-лексного числа и обозначаются
и
.
Так как
,
то получимтригонометрическую
форму записи комплексного числа
(1)
Очевидно, если
,
то аргумент имеет бесконечно много
значений, получаемых по формуле
,
где
называют главным значением аргумента
и по определению полагают
.
Два комплексных числа будут равны,
если
и
.
Если воспользоваться
формулой Эйлера
,
то фор-мула (1) примет вид (показательная
форма записи комплексного числа)
(2)
Такие формы представления комплексных чисел очень удобны для действий над ними. Так непосредственно можно проверить следующие правила:
(3)
(4)
Из формулы (3) умножения комплексных чисел следует правило возведения в степень
(5)
Из правила (5) с
учетом определения корня п-ой
степени из числа z
получаем
и, если
,
а
,
то будут справедливы равенства
,
из которых следуют соотношения
.
Таким образом, приходим к правилу извлечения корней из комплекс-ных чисел
,
(6)
где, для того чтобы
эти значения были различными, должно
.
Пример 2.
Найти
.
Представим число i в тригонометрической форме (1)
.
Тогда по формуле (6) получаем два различных корня:
.
Путем возведения полученных корней в квадрат легко убедится в правильности полученного результата.
1.3. Определение функции комплексной переменной
Определение 3.
Множество точек комплексной плоскости,
которые удовлетворяют неравенству
,
называется
-окрестностью
точки
.
Геометрически оно
представляет собой круг радиуса
с центром в точке
,
так как
.
Определение 4. Множество D точек комплексной плоскости называ-ется областью, если:
1. Каждая точка принадлежит D с некоторой окрестностью (свойство открытости);
2. Любые две точки, принадлежащие D, можно соединить непрерывной линией, все точки которой принадлежат D (свойство связности).
Определение 5.
Область D
с присоединенной границей называется
замкнутой областью и обозначается
.
Например,
замкнутая область (круг).
Определение 6. Область D называется односвязной, если любая замк-нутая кривая, полностью принадлежащая области, может быть стянута в точку с помощью деформации без выведения из границ области.
y
x
Здесь область
- односвязная, а области
,
и
- много-связные.
Определение 7.
В области D
определена функция комплексной
пере-менной
,
если каждой точке
по определённому правилу или закону
поставлены в соответствие одна или
несколько точек
.
Геометрически это выглядит так
y v
D
w
z
G
O x O и
В первом случае функция называется однозначной, а во втором – многозначной.
Если
,
а
,
то для определенияw
достаточно задать две функции
и
.
Определение
8. Функция
,
ставящая в соответствие точке
одну или несколько точек
,
называется обратной функцией к функции
.
Пример 3. Рассмотрим функцию у
,
заданную в области D
:
D
Найти область G, в которую данная О 1 х
функция преобразует область D.
В этом случае
Подставим в эту
систему уравнение
границы областиD
(гипотенуза треугольника) и тогда
Получили
параметрические
уравнения
линии
(часть
границы
области
G
). Если исключить
параметр х,
то уравнение первой части границы
области G
примет
вид
.
Подставим в систему
уравнение
границы областиD
(катет треугольника):
И, наконец,
аналогично поступим со следующей
границей
областиD
:
Изобразим все полученные границы области G на рисунке.
v
2
y
1
w
z
G
O 1 x 1 O 1 u
Таким образом, данная функция отображает прямоугольный треуголь-ник D на криволинейный треугольник G.