- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 70. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 71
- •1.4. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 72. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 73
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 74
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Применение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 75. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 76.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •Литература
- •С о д е р ж а н и е
Операционное исчисление Лекция № 75. Тема 1 : Оригинал и изображение
1.1. Определение оригинала и изображения
Определение 1. Оригиналом называется функция действительной переменнойt, удовлетворяющая следующим условиям:
1. однозначная и кусочно-непрерывная функция вместе со своими производными;
2.
3. и, что выполняется, гденазывается показателем роста функции.
Определение 2. Изображением оригинала называется функция комплексной переменной , которая определяется интегра-лом Лапласа
(1)
Естественно, что при этом аргумент p должен быть таким, чтобы несобственный интеграл (1) был сходящимся, т.е. . Интеграл (1) называется преобразованием Лапласа функции и обозначается
или
Теорема об обращении преобразования Лапласа. Если оригинал иего изображение, тоимеет место формула обращения (обратное преобразование Лапласа)
(2)
где интегрирование ведется вдоль прямой , параллельной мнимой оси. Формулу (2) символически записывают
.
Основные свойства преобразования Лапласа:
1. Преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е.
где
2. Всякое изображение приявляется аналитической функцией;
3. Если изображение функции , то
1.2. Изображения некоторых функций
1. Единичная функция
Тогда
т.е. если
Замечание. Из определения преобразования Лапласа следует, что в дальнейшем преобразование Лапласа будет осуществляться для функций вида
2. Степенная функция где
Найдем изображение функции т.е. рассмотрим случай, когдаТогда имеем
Аналогично, применяя формулу интегрирования по частям n раз, получим окончательную формулу
если
3. Показательная функция
Аналогично получим , если
4. Гиперболические функции
Так как
Аналогично получим
5. Тригонометрические функции
Как известно, тригонометрические функции можно выразить через показательные функции, поэтому получим
где
Аналогично имеем
где
Все полученные результаты внесем в таблицу.
Оригинал |
Изображение |
|
Оригинал |
Изображение |
| ||||
| ||||
| ||||
|
Пример 1. Найти изображение функции
Используя свойство линейности преобразования Лапласа и таблицу изображений, получим
Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
Теорема 1 (подобия).
Воспользуемся определением преобразования Лапласа и выполним замену переменной:
Теорема 2 (запаздывания).
Из определения оригинала следует, что при или, поэтому имеем
Выполним замену переменной в последнем интеграле:
Таким образом, окончательно получим
Пример 2. Найти изображение функции
Используя свойство линейности преобразования Лапласа, таблицу изображений, теоремы подобия и запаздывания, получим
Аналогично доказывается и следующая
Теорема 3 (смещения).
Пример 3. Найти изображение функции
Используя свойство линейности преобразования Лапласа, таблицу изображений, теоремы подобия и смещения, получим
Пример 4. По данному изображению
найти оригинал.
Представим данное изображение в виде
и воспользовавшись таблицей изображений и теоремой смещения, переходя от изображений к оригиналам, получим