Лекция 66

6.2.3. Нормальное распределение

Определение 1. СВ X называется распределённой по нормальному закону, если функция плотности распределения .

Определим смысл параметров a и . Для этого вычислим:

,

так как первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах, а второй является интегралом Пуассона.

Таким образом, . Аналогично можно показать, что, т.е..

График функции нормального распределения имеет вид (Лекция22)

f(х)

О а х

Здесь точки перегиба, .

Если вычислить значения центральных моментов

,

то получим

Часто на практике в качестве числовых характеристик используются так называемые эксцесс  Ex и коэффициент асимметрии  As. В частности, для нормального распределения они равны:

Таким образом, эти коэффициенты определяют степень отклонения распределений от нормального.

Вероятность попадания в заданный интервал СВ, имеющей нормальное распределение, определяется по формуле

(1)

Следствие 1. При ииз формулы (1) получаем

. (2)

Следствие 2. Если положить в формуле (2) и учесть, что при, то получим

. (3)

Выражение (3) представляет собой так называемое правило трёх сигм. Оно означает, что практически в интервале находятся все возможные значения нормально распределённой СВ.

Нормальный закон распределения играет в теории вероятностей важную роль, так как является предельным законом, к которому приближаются многие другие законы. Это отражено в центральной предельной теореме Ляпунова.

Теорема. Если Х  сумма большого числа независимых случайных величин , которые имеют различные распределения и их влияние на СВХ незначительно, то Х имеет распределение близкое к нормальному. А в пределе СВ Х стремится к нормальному закону.

Нормальный закон широко используется в теории ошибок, в теории стрельбы, теории надёжности и т.д.

Пример 1. По цели, имеющей вид полосы, ширина которой 20 м, ведётся стрельба в направлении перпендикулярном полосе. Прицеливание ведётся по средней линии. Среднее квадратическое отклонение (точность прицела) в направлении стрельбы равна . Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

у

10 а = 0 10 х

Здесь

Полагая в формуле (2) эти значения, получаем

Тема 7 : Закон больших чисел

Этот закон обосновывает устойчивость средних, т.е. при очень большом числе случайных событий их средний результат практически перестаёт быть случайным и может быть предсказан с большой точностью. Какие условия необходимы для этого?

7.1. Неравенство Чебышева

Теорема. Если случайная величина Х имеет конечную дисперсию, то справедливо неравенство

.

Доказательство проведём для непрерывной СВ.

Из рисунка

х

следует

что и требовалось доказать.

Пример 2. Дана случайная величина Х с математическим ожиданием и дисперсией. Оценить вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания не менее, чем на .

Положим в неравенстве Чебышева , тогда верхняя граница вероятностей

,

что верно для всех законов распределения СВ.