- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
Лекция № 69
Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
Часто в задачах практики на основании тех или иных данных делается предположение о виде закона распределения интересующей нас случайной величины. Однако, для окончательного решения вопроса о виде закона распределения нужно проверить насколько сделанные предположения согласуются с опытными данными. Таким образом, необходимы критерии, которые позволили бы исследовать как согласуются наблюдаемые значения: случайной величины X с гипотезой относительно её функции распределения. Такие критерии называются критериями согласия. В основе их построения лежит исследование меры отклонения теоретической функции распределения от эмпирической
Наиболее распространённой такой мерой является мера, введённая Пирсоном
. (1)
Множество значений случайной величины Х разбито на т полу-интервалов без общих точек
. . . . .
[ [ [ [ [
Здесь частота появления признака, принадлежащего интервалу . Очевидно, что объём выборки .
Теоретические частоты , соответствующие эмпирическим, вычис-лены по предполагаемому закону распределения (гипотеза), для них также выполняется равенство
Величина является случайной величиной, при этом ее распреде-ление не зависит от функции распределения случайной величиныX и стре-мится при к так называемому-распределению сстепенями свободы, гдеr число параметров теоретического закона.
Из этого следует критерий для проверки гипотезы о распределении изучаемой случайной величины (критерий Пирсона). Рассмотрим его при-менение для проверки гипотезы о нормальном распределении.
Пусть эмпирическое распределение задано в виде вариационного ряда равноотстоящих вариант с шагом h
-
…
…
Необходимо:
1. Вычислить выборочное среднее
и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
2. Определить теоретические частоты, считая закон распределения нормальным, т.е.
, (2)
где
.
3. По формуле (1) вычислить величину . Пусть она оказалась равной.
4. Определить число степеней свободы для нормального распределения
5. По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимостии числу степеней свободыk находим критическую точку . Если , то гипотеза о нормальном распределении принимается, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно. В противном случае гипотеза отвергается.
Уровень значимости означает, что вероятность, т.е. осуществление такого события практически невозможно.
Замечание 1. Рассмотренный критерий на практике даёт хорошие результаты, если .
Пример 1. Проверить, согласуются ли данные таблицы с предполо-жением, что рост мужчины является нормально распределённой случайной величиной, приняв уровень значимости
|
| ||
156 |
11 |
11 |
0 |
160 |
26 |
27 |
0,0370 |
164 |
65 |
65 |
0 |
168 |
120 |
120 |
0 |
172 |
181 |
176 |
0,1420 |
176 |
201 |
199 |
0,0201 |
180 |
170 |
175 |
0,1429 |
184 |
120 |
122 |
0,0328 |
188 |
64 |
66 |
0,0606 |
192 |
28 |
28 |
0 |
196 |
14 |
11 |
0,8182 |
Итого |
1000 |
1000 |
1,2536 |
Из таблицы следует, что ,и теоретические частотыопределяем по формуле (2).
Таким образом, . По уровню значимости и числу степеней свободыпо таблице критических точек распределениянаходим=20,1. Так как , то гипотеза принимается.