- •Лекция № 45. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.1. Признаки сравнения
- •Лекция № 46
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Лекция № 47. Тема 4 : Функциональные ряды
- •4.1. Определение функционального ряда
- •4.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •Тема 5 : Степенные ряды
- •5.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •Лекция № 48
- •5.2. Разложение функций в степенные ряды
- •5.3. Применение рядов Тейлора
- •Лекция № 49. Тема 6 : Ряды Фурье
- •6.1. Определение ряда Фурье
- •6.2. Условия разложения функции в ряд Фурье
- •Лекция № 50
- •6.4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •6.5. Разложение непериодических функций в ряд Фурье
- •6.6. Интеграл Фурье
- •Уравнения математической физики Лекция № 51.
- •1. Основные типы уравнений математической физики
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 52. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла (ди)
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 53
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Ди в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •Лекция № 54
- •Лекция № 55. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 58.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 58. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 59. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 60
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 61. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 62. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 63.
- •Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 64. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 65. Тема 6 : Основные законы распределения св
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция 66
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •7.1. Неравенство Чебышева
- •7.2. Теорема Чебышева
- •Лекция № 67. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной св
- •Элементы математической статистики Лекция № 68. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 69
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
6.6. Интеграл Фурье
Ранее мы рассмотрели разложения в ряд Фурье периодических и непериодических функций, заданных на конечном промежутке. Если задана непериодическая функция на бесконечном интервале, то её можно представить интегралом Фурье, который получается путём предельного перехода в ряду Фурье при .
Теорема. Пусть функция определена на, имеет конечное число точек разрыва и. Тогда её можно представить интегралом Фурье, т.е.
(1)
Формулу (1), если воспользоваться формулой для косинуса разности, можно представить в другом виде
,
где
Замечание. Для четных и нечетных функций интеграл Фурье преобразуется аналогично, как и ряд Фурье.
Пример 3. Функцию представить интегралом Фурье.
Так как функция нечетная, то , а
.
Тогда интеграл Фурье этой функции примет вид
Уравнения математической физики Лекция № 51.
1. Основные типы уравнений математической физики
Для дифференциальных уравнений второго порядка в частных произ-водных существуют три типа уравнений или уравнений, сводящихся к ним путём замены переменных:
1. Уравнения гиперболического типа.
К этому уравнению приводятся задачи о различных колебательных процессах. Простейший (канонический) вид этого уравнения
волновое уравнение.
2. Уравнения эллиптического типа.
К этому уравнению приводятся задачи об электрических и магнитных полях, задачи гидродинамики жидкости, диффузии, упругости. Простейший (канонический) вид этого уравнения
уравнение Лапласа.
3. Уравнения параболического типа.
К этому уравнению приводятся задачи о распространении тепла, фильтрации жидкости и газа. Простейший (канонический) вид этого уравнения
уравнение Фурье или теплопроводности стержня.
Остановимся более подробно на случае волнового уравнения.
2. Решение волнового уравнения методом Фурье
Рассмотрим задачу о колебаниях струны, закреплённой в точках и. Уравнение её поперечных колебаний имеет вид
, (1)
где поперечное смещение струны, ,T сила натяжения струны, - линейная плотность струны.
Для решения уравнения (1) необходимо задать граничные условия (условия неподвижности концов струны):
(2)
и начальные условия (форма струны и скорость каждой точки струны в момент времени ):
(3)
. (4)
Замечание 1. Если и, то струна находится в покое и.
Решение уравнения (1) будем искать в виде произведения двух функций
. (5)
Подставим выражение (5) в уравнение (1), получим
или . (6)
В левой части равенства (6) стоит функция от t, а в правой от x. Поэтому такое равенство возможно только при условии
или
Общие решения этих дифференциальных уравнений имеют вид
,
тогда
(7)
Подберём произвольные постоянные , чтобы они удовлетворяли начальным и граничным условиям. Подставив выражение (7) в граничные условия (2), получим систему
Последнее равенство возможно только при , т.е.и.
Найденные значения называютсясобственными значениями, а функции собственными функциями.
Замечание 2. Константу разделения нельзя взять положительной величиной, т.е. в виде , так как для этого случая решение
не удовлетворяет граничным условиям ни при каких значениях .
Таким образом, для каждого значения п получаем своё решение
а сумма этих решений также является решением уравнения (1), т.е.
. (8)
Теперь удовлетворим начальные условия. Подставим в условие (3) выражение (8), положив ,
.
Замечаем, что коэффициенты являются коэффициентами Фурье разложения функциив ряд по синусам и тогда
. (9)
Продифференцируем выражение (8) по t и подставим , получим. (10)
Окончательно, решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (24), имеет вид (8), где коэффициенты ивычисляются по формулам (9-10).
Пример. Решить волновое уравнение при граничных условиях:и начальных условиях:
. и
Так как , тоM
, h K
где уравнения прямых ОМ и МК: О l x
и тогда находим
Тогда
.
Если обозначить , то
.
Здесь частоты колебаний, формы колебаний с соот-ветствующими амплитудами .