Лекция № 56. Тема 4 : Криволинейные интегралы

4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги

4.1.1. Определение криволинейных интегралов первого рода

Пусть в пространстве задана некоторая линияL, а на ней определена функция , где точка. ТочкаА - начальная точка линии L, точка В  конечная. z L B

A

y

x

Если в качестве меры в кратном интеграле взять длину дуги кривой, то получим частный случай кратного интеграла, который называется криволинейным интегралом первого рода (КИ-1):

.

Другие обозначения КИ-1: .

Из этого определения следуют свойства КИ-1:

1. КИ-1 имеет те же свойства что и кратный интеграл;

2. КИ-1 зависит от начальных и конечных точек, но не зависит от направления пути интегрирования, т.е. .

Замечание 1. Если линия интегрирования замкнутая, то используется обозначение .

4.1.2. Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Так как дифференциал дуги для линии L, заданной параметрическими уравнениями

то получим формулу для вычисления криволинейных интегралов первого рода

.

Для плоской линии получаем

.

Если линия плоская и задана в декартовой системе координат урав-нением на отрезке , то, выбирая х в качестве параметра, получим

.

Пример 1. Вычислить вдоль винтовой линииот точкидо точки.

4.1.3. Вычисление длины дуги.

Если в подынтегральной функции положить , то длина дуги

Пример 2. Найти длину дуги винтовой линии при изменении параметра t от до.

4.1.4. Вычисление центра масс (тяжести) линии.

Аналогично, как и в предыдущих лекциях для кратных интегралов, получаем:

где  масса линии.

Пример 3. Найти центр масс однородной полуокружности .

В силу симметрии линии , а

.

4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам

4.2.1. Определение криволинейных интегралов второго рода

Пусть в пространстве задана линия на которой определена векторная функция

где точка . Тогдакриволинейный интеграл второго рода опреде-ляется следующим образом

. (1)

Из этого определения следует:

1. Криволинейный интеграл второго рода имеет свойства, аналогичные свойствам 1-2 кратных интегралов.

2. , так как в интегральной сумме (1),меняют знак.

Замечание 2. Если линия интегрирования замкнутая, то используется обозначение , при этом стрелкой обозначают направ-ление интегрирования.

4.2.2. Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Аналогично, как и для криволинейного интеграла первого рода, имеет место формула

Если линия плоская и задана в декартовой системе координат, то

.

Пример 4. Вычислить , где линия эллипс, проходимый против часовой стрелки.

4.2.3. Вычисление работы силы.

Если под функциями подразумевать проекции некоторой силы, то работа этой силы на элементарном перемещении и тогда работа силы по перемещению точки вдоль линии.

Пример 5. Найти работу силы вдоль дуги параболы от точки до точки.

Векторную запись силы представим в координатной форме:

.

Тогда работа

.