Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Консп лекц НГ сентябрь 2010.pdf
Скачиваний:
69
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
5.25 Mб
Скачать

12.7Плоскости, касательные к кривым поверхностям

Если через некоторую точку на монотонной в некоторой области поверхности провести серию линий, то касательные t1 и t2 к этим

линиям будут лежать в одной плоскости Θ. Такая плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке. Достаточно провести через точку на поверхности две плоские линии, построить к этим линиям в их общей точке М касательные линии. Эти две касательные прямые зададут касательную плоскость (Рис. 12.9).

Рис. 12.9 Плоскость, касательная к поверхности

Построение касательной плоскости

Построение касательной плоскости к конкретной поверхности на проекционном чертеже основано на том же построении пары касательных к поверхности в заданной точке. Эти касательные зададут касательную плоскость. Очевидно, что, так как касательные могут быть любые, искать нужно те, построение которых наиболее просто. Если поверхность содержит прямолинейные образующие (конус, цилиндр), эти образующие также могут быть использованы для построения касательной плоскости.

Пример 12.1. Построить касательную плоскость к торовой поверхности (Рис. 12.10).

129

Простейшим образом могут быть построены две касательные к торовой поверхности в (.)М. Одна – касательная h к окружности параллели p (горизонтальная окружность) на поверхности тора, проведенной через точку М. Она легко может быть построена на горизонтальной плоскости проекции. На фронтальной плоскости проекции касательная h к параллели m совпадает с ее проекцией. Другая касательная, это прямая t, касательная к меридиональному сечению m тора. Эта касательная пересекает ось торовой поверхности. Все множество касательных, проходящих через точки на параллели p тора образуют коническую поверхность с вершиной в точке S, построенной как точка пересечения касательной к очерковому меридиану m, проведенной через параллель p, с осью тора. Касательная к тору в точке М пройдет через ту же точку S.

S2

 

 

p2

 

m2

 

 

 

 

h2

O2

 

M2

 

 

t2

 

 

m1

S1

O1

h1

 

 

p1

 

 

 

 

M1

 

 

t1

Рис. 12.10 Касательная к поверхности полутора

Две пересекающиеся в точке М прямые h и t задают искомую касательную плоскость.

130

Пример 12.2. Построить касательную плоскость к сферической поверхности

(

Рис. 1.1).

Это построение ничем не отличается от построения касательной плоскости к поверхности тора (см. Ошибка! Источник ссылки не найден.Пример 12.1).

131

 

S2

 

 

p2

 

t

 

 

 

2

 

 

 

h2

m2

 

M2

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

O2

 

 

 

 

 

m1

 

S1 O1

 

h1

 

 

 

 

p1

 

 

 

M1

 

t1

 

 

 

Рис. 12.11 Касательная плоскость к поверхности сферы

Пример 12.3. Построение касательной плоскости к конической поверхности

Касательная плоскость к конической поверхности задается образующей, которой принадлежит точка, и касательной к направляющей, которой принадлежит заданная точка (Рис. 12.12).

132

S2

 

 

t2

 

m2

M2

h2

O2

 

 

m1

S1 O1

h1

M1

 

 

t1

Рис. 12.12 Касательная плоскость к поверхности конуса

133