Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.71 Mб
Скачать

Теорема

9.

Если

lim

f (x) = lim h(x) = b и в

некоторой

окрестности

 

 

 

 

x®a

x®a

 

f (x) £ g(x) £ h(x), то

точки x = a (за исключением, быть может, самой точки)

lim g(x) = b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

10

(о замене

переменной). Пусть хотя бы одна

из функций

u = j(x)

или

 

y = F(u)

является

строго

монотонной и пусть

существуют

пределы

lim j(x) = b

и

lim F(u) .

Тогда

и у сложной

функции F(j(x))

 

x®a

 

 

u®b

 

 

 

 

 

существует предел в точке x = a , причем

 

 

 

 

lim F(j(x)) = lim F(u) .

 

 

 

 

 

x®a

 

u®b

 

 

 

 

 

 

y = f (x) -

Теорема

11

(пределы

элементарных

функций).

Пусть

элементарная функция и точка x = a Î D( y) вместе с некоторой окрестностью.

Тогда lim f (x) = f (a) (в силу непрерывности элементарных функций). x®a

Теорема 12. Всякая ограниченная монотонная на промежутке функция имеет в каждой точке промежутка конечные односторонние пределы.

Пример 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ì

 

1

 

 

 

 

 

 

ü

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim 2 x

 

 

ï

 

x = u

ï

=

lim

2u

= +¥,

 

 

 

 

= í

 

ý

 

 

x®+0

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

u®+¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îu

® +¥þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ì

 

1

 

 

 

 

 

 

ü

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim 2 x

 

 

ï

 

x = u

ï

=

lim

2u

= 0.

 

 

 

 

= í

 

ý

 

 

x®-0

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

u®-¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îu

® -¥þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

 

3x2 - 2x + 7

;

б) lim

 

 

3x - 2x

.

 

 

 

x2 +

8x - 5

 

 

 

×3x + 2x

 

 

x®+¥

 

 

 

 

x®+¥ 2

 

 

Путем деления числителя и знаменателя на самое быстрорастущее

слагаемое, перейдем от б.б. функций к б.м. функциям и получим результат:

 

 

 

 

3-

 

2

 

+

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

x

x2

 

=

 

lim

3+ o(1)

= 3 = 3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ o(1)

 

x®+¥ 1+

 

8

 

-

 

 

5

 

 

 

x®+¥

1

 

 

 

 

x

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ 2

öx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- o(1)

 

 

1

 

 

 

б)

lim

 

 

 

è 3

ø

 

 

 

= lim

=

.

 

 

 

 

 

æ 2 öx

 

 

2

 

 

 

x®+¥

 

 

 

 

 

 

x®+¥

2 + o(1)

 

 

 

 

 

2

+ ç

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 3ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 32 -

Замечание. Кроме определения предела функции на «языке последовательностей», существует (равносильное) определение предела функции на т.н. «языке e -d ». Некоторые из теорем о пределах удобнее доказывать именно на этом языке.

§ 10. Замечательные пределы

I Первый замечательный предел

Теорема 1. lim sin x = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Сначала докажем основное неравенство sin x < x < tg x ,

справедливое "x Î(0,p ). Для

этого рассмотрим

единичную окружность с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

центром в начале координат и пусть M - точка окружности, лежащая в первой

четверти. Через

 

 

 

M проведем луч OM , а через точку A(1,0)

 

- касательную к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окружности.

 

Если радианная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мера ÐMOA равна x ,

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (cos x,sin x) и K (1, tg x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

три

 

 

фигуры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOMA,

сектор

 

 

OMA

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOKA.

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SDOMA < Sсек. OMA < SDOKA ,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

означает

 

 

 

 

следующее:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

112 ×sin x <

 

1 x ×12

< 11× tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Отсюда

 

и

 

 

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

основное неравенство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее

 

докажем

три

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

леммы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лемма 1.

 

"x

 

sin x

 

£

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для x Î(0,p )

- это часть основного неравенства. Если

 

x Î(- p ,0), то

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- x Î(0,p )

и поэтому sin(-x) < -x или - sin x < -x . Но в интервале (- p

,0)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

sin x < 0 и

x < 0, следовательно,

- sin x =

 

sin x

 

, - x =

 

x

 

 

и снова

 

sin x

 

<

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если x = 0,

то

 

sin x

 

=

 

x

 

= 0. Пусть, наконец,

 

x

 

³ p

. Тогда

 

 

x

 

> 1, а

 

sin x

 

£ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И снова

 

sin x

 

<

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 33 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лемма 2. limsin x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это следствие одного из свойств б.м. функций: если x = o(1) при x ® 0 и

0 <

 

sin x

 

< x , то и sin x = o(1) при x ® 0, т.е. limsin x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

 

 

 

 

 

 

 

Лемма 3. limcos x = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

æ x ö2

 

 

x2

 

 

 

Преобразуем: 0 <1- cos x =

2sin

 

 

 

 

< 2ç

 

÷

=

 

 

.

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

2 ø

 

 

 

 

 

 

И снова, т.к.

x2

= o(1) при

x ® 0,

то и 1- cos x = o(1) при x ® 0. Это

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

же означает: limcos x = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь можем доказать теорему.

 

Пусть

 

x Î

æ

0,

p

ö

 

 

 

 

ç

2

÷ . Разделим все части

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

ø

основного неравенства на sin x > 0

: 1 <

 

 

x

 

<

 

1

 

.

 

 

 

 

sin x

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходя к обратным величинам, получим:

 

cos x <

sin x

< 1.

(1)

 

 

 

 

 

x

 

Применяя к полученному неравенству теорему 9 из предыдущего параграфа

и учитывая, что limcos x = lim1 = 1, получим

 

 

x®0

x®0

 

 

lim

sin x = 1.

 

 

x®0+0

x

 

Пусть теперь x < 0, тогда - x > 0 и неравенство (1) принимает вид

 

cos(-x) < sin(-x) < 1.

 

 

 

 

 

- x

sin x , и для x < 0

Принимая во внимание четность cos x и нечетность

получаем неравенство (1), а значит и

 

lim

sin x = 1.

 

 

 

 

x®0-0

x

 

 

 

 

Равенство односторонних пределов и доказывает теорему.

Если объединить доказанную теорему с теоремой 10 из § 9, то можно получить более сильный результат.

Теорема 2. Пусть a(x) - произвольная б.м. функция при x ® a . Тогда

lim sina(x) = 1.

x®a a(x)

- 34 -

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim

 

sin(x2

-1)

 

 

= lim

sin(x

2 -1)

× (x +1)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

x -1

 

 

x2

-1

 

 

 

 

 

 

 

x®1

 

 

 

x®1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

sin(x2

-1)

 

 

× lim(x +1) = 1× 2 = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®1

 

 

 

x®1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

lim sin x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®p p - x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем замену p - x = t . Тогда x = p - t

и t ® 0 при x ® p . Поэтому

lim sin x = lim sin(p - t) = lim sin t

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

x®p p - x

t®0

 

t

 

t®0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

lim

tg x

= lim

sin x

×

 

1

= lim

sin x

 

× lim

1

=1×

1

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

1

 

x®0

 

x

x®0

 

x

 

 

x®0

x

 

x®0 cos x

 

 

II Второй замечательный предел

 

 

 

 

ìæ

+

1

ön ü

В § 8 было доказано, что предел последовательности íç1

 

÷

ý равен

îè

 

n ø

þ

числу e . Оказывается, этот результат справедлив и для функции

x ® ±¥ (доказательство опустим). Переходя от бесконечно бесконечно малым получим т.н. второй замечательный предел.

æ

+

1

öx

ç1

 

÷

при

è

 

x ø

 

больших к

1

Теорема 3. lim(1+ x)x = e .

x®0

Более того, для любой a(x) = o(1) при x ® a имеет место равенство

1

lim(1+a(x))a ( x) = e .

x®a

Примеры.

4. lim ln(1+ x)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

= lim

1 ln(1+ x) = limln(1+ x)

 

=

x

x®0

 

x

 

 

 

x®0

x

x®0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln(lim(1+ x)

 

) = ln e = 1.

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x®0

 

 

 

 

 

 

 

 

ln в связи с тем, что функция

Здесь знак предела был внесен под знак

y = ln x - непрерывная (смотри об этом в последующих параграфах).

5. lim

ex

-1

=

ìex -1 = t ® 0ü

= lim

t

 

= 1.

 

 

í

 

ý

 

 

 

 

 

 

+ t)

x®0

 

x

 

î x = ln(1+ t) þ

t®0

ln(1

 

 

 

- 35 -

Лекция 6

§ 11. Эквивалентные б.м. и б.б. функции

I Сравнение б.м. и б.б. функций

Пусть a(x) и b (x) - пара б.м. или б.б. функций при x ® a .

Определение 1. Если lim a(x) = 0, то говорят, что при x ® a :

x®a b (x)

1)б.м. a(x) имеет более высокий порядок малости, чем б.м. b (x);

2)б.б. a(x) имеет более низкий порядок роста, чем б.б. b (x).

В обоих случаях пишут: “a(x) = o(b (x)) при x ® a ”.

 

 

 

 

 

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. sin x2 = o(x) при x ® 0, ибо

lim

sin x2

= lim

sin x2

× x = 1×0 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

x

 

x®0

x2

 

 

 

 

2

 

3

 

4

 

 

 

 

2x2 + 5x3

æ 2

 

5

ö

2. 2x

 

+ 5x

 

= o(x

 

) при x ® ¥

, ибо lim

 

x4

= limç

 

+

x

÷ = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®¥

 

 

è x2

 

ø

Отсюда получим, например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x4 + 5x3 + 2x2 = 3x4 + o(x4 ) , x ® ¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Известная цепочка соотношений ln x << xa << a x

(a > 0, a > 1) озна-

чает, что при x ® +¥

 

ln(x) = o(xa ), xa = o(ax ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1. Грубо говоря, соотношение a = o(b )

означает, что б.м. a

стремится к

0 быстрее,

чем б.м. b , а

б.б. a стремится к

± ¥ медленнее, чем

б.б. b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 2. Если lim a(x) = b ¹ 0,

то говорят, что бесконечно малые

 

 

 

 

 

 

x®a b (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a(x) и b (x) имеют одинаковый порядок малости, а бесконечно большие a(x)

иb (x) - одинаковый порядок роста при x ® a .

Определение 3. Если lim a(x)

не существует, то б.м. или б.б. a(x) и

x®a b (x)

 

b (x) называют несравнимыми.

Примером несравнимых б.м. (при x ® ¥) служат функции a(x) = sinx x

и b (x) = 1x .

- 36 -

II Эквивалентные функции: два определения

Определение 4. Если lim a(x) = 1, то пару б.м. или б.б. функций a(x) и

x®a b (x)

b (x) называют эквивалентными при x ® a и пишут : a(x) ~ b (x) при x ® a . Примерами эквивалентных б.м. при x ® 0 служат sin x ~ x , tgx ~ x ,

ln(1+ x) ~ x .

Приведем несколько свойств символа ~ :

1)a ~ b Û b ~ a ;

2)a ~ b , b ~ g Þ a ~ g ;

3)b + o(b ) ~ b ;

4)a ~ b Þ o(a) = o(b );

5) a ~ b Þ f ×a ~ f × b "f ¹ 0.

Замечание 2. Для упрощения применения эквивалентностей удобно пару любых функций называть эквивалентными, если предел их отношения равен 1 (иногда уточняют: «эквивалентные в широком смысле»).

Для б.м. функций можно дать еще одно определение эквивалентности (равносильное определению 4).

Определение 5. Бесконечно малые функции эквивалентны, если их разность есть б.м. более высокого порядка малости, чем каждая из них:

a(x) ~ b (x) Û a(x) - b (x) = o(a(x)) и a(x) - b (x) = o(b (x)) .

III Таблица эквивалентностей

 

 

 

 

 

 

 

При a ® 0:

 

 

 

 

3) tga ~ a ;

 

 

 

1) sina ~ a ;

2) arcsina ~ a ;

 

 

 

 

 

3) arctga ~ a ;

5) 1- cosa ~

a

2

;

6) tga - sina ~

a 3

;

2

2

 

 

 

 

 

 

7) ln(1+ a) ~ a ;

8) ea -1 ~ a ;

 

 

 

9) aa -1 ~ a ×ln a ;

 

10) sha ~ a ;

11) tha ~ a ;

 

 

 

12) cha -1 ~

a 2

 

 

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13) (1+ a)m -1 ~ ma .

Кроме этих формул используются еще такие:

14) многочлен на ¥ эквивалентен старшему члену, а в нуле - младшему;

15)

lim f (x) = A Û f (x) ~ A при x ® a , если только A ¹ 0 и A ¹ ¥ ;

 

x®a

16)

ex + xa + ln x ~ ex , xa + ln x ~ xa при x ® +¥ (a > 0, a > 1);

17)

n!~ 2pn nn при n ® ¥ .

 

en

Часть этих формул была получена в §10. Выведем еще несколько других:

- 37 -

 

 

 

2

x

æ x

ö2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

5) 1- cos x = 2sin

 

 

 

~ 2×ç

 

÷

=

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 2

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

sha =

ea - e-a

=

e2a -1

~

2a

 

 

= a ;

 

 

 

 

 

 

 

 

2ea

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2×1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13)

(1+a)m -1 = em ln(1+a ) -1 ~ m ln(1+a) ~ ma ;

 

 

 

 

15) Пусть lim f (x) = A ¹ 0,¹ ¥ , Тогда lim

f (x)

= lim f (x)

=

A

= 1, т.е.

 

 

 

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

f (x) ~ A (в широком смысле).

IV Использование эквивалентностей для вычисления пределов

 

Теорема.

Пусть

f (x) ~ f1(x), а g(x) ~ g1(x) при x ® a . Если

lim

f1(x)

= b , то и lim

f (x)

= b .

g (x)

g(x)

x®a

 

x®a

 

 

1

 

 

 

 

Доказательство.

lim

x®a

f (x)

g(x)

æ

f (x)

 

f

1

(x)

 

g (x) ö

 

f

1

(x)

 

 

= limç

 

 

 

×

 

 

×

1

÷

= 1×lim

 

 

×1

= b .

f

 

(x)

g (x)

 

g (x)

x®aç

1

 

 

g(x) ÷

x®a

 

 

è

 

 

 

 

1

 

 

 

ø

 

 

1

 

 

 

Практический вывод. При вычислении пределов частных и произведений функций каждую из них можно заменить эквивалентной.

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

4. lim sin(x2 +

x)(5 1+ x2 -1)

 

(x2 + x)

1

x2

 

 

 

 

= lim

5

=

 

x®0

ln(1+ arctg(x2 × x))

x®0

arctg(x2 ×

 

x)

 

=

1

lim

x × x2

=

1

.

 

 

 

 

 

 

x2 × x

5

 

 

 

 

 

 

5 x®0

 

 

 

 

 

 

 

Здесь были использованы эквивалентности для синуса, логарифма, арктангенса, степенной функции и выражения типа многочлена (алгебраической суммы степеней переменной с неотрицательными показателями, а не только натуральными, как в обычном многочлене).

 

1

 

 

 

Вычислим предел A = lim(cos x)

 

. Используя основное

 

5.

sin2 x

логариф-

 

x®0

 

мическое тождество, свойство логарифма степени и непрерывность

функции

y = ex ,

получим:

 

æ

1

 

ö

 

 

ln(cos x)

 

 

A = limçexpln(cos x)sin 2

x ÷ = lim expæ

ö

= expælim

 

x®0ç

 

÷

 

ç

sin2 x

÷

ç

 

x®0

è

ø

è x®0

è

 

ø

 

 

 

 

 

Выведем нужную здесь формулу эквивалентности при x ® 0:

ln(cos x) ö

2 ÷.

sin x ø

- 38 -

ln(cos x) = ln(1+ (cos x -1)) ~ cos x -1 = -(1- cos x) ~ -

x2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

æ

 

x2

ö

 

 

 

 

 

 

ç

-

 

÷

= e-

1

 

 

 

 

2

 

 

 

A = expçlim

 

 

÷

 

 

 

 

Итак,

 

 

2 .

 

 

x2

 

 

 

 

ç x®0

÷

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

è

 

 

ø

 

 

 

 

 

6. Приведем ряд примеров «подгонки» под табличную форму эквивалентности:

ex+1 - e = e(ex -1) ~ e × x

при x ® 0;

 

 

 

 

 

 

5 32 + x - 2 = 5 32æ1+

 

x

ö

 

æ

1

+ x

ö

~ 2× 1

×

x при x ® 0;

 

- 2 = 2ç5

-1÷

ç

 

32

÷

 

ç

 

 

32

÷

5

 

32

è

 

ø

 

è

 

 

ø

 

 

1+ x

 

 

æ

1 ö

 

1

 

 

 

 

 

ln(1+ x) - ln x = ln

 

 

 

 

= lnç1+

 

÷ ~

 

при x ® +¥.

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

è

x ø

 

 

 

 

 

 

Замечание-предостережение. Использовать эквивалентности (в указанной форме a ~ b ) в суммах, разностях функций и под знаками функций, вообще

говоря, нельзя. Исключение составляет степенная функция, т.е., если a ~ b , то

a k ~ b k , "k Î R .

Однако, существует другая форма эквивалентностей, которую можно использовать везде. Эту форму рассмотрим в следующей части параграфа.

V Асимптотические формулы

 

В силу второго определения эквивалентности соотношения

a ~ b

равносильно a - b = o(b ) или a = b + o(b ) . Таким образом,

таблицу

эквивалентностей можно записать в форме т.н. асимптотических формул. Приведем лишь некоторые из них. Все остальные студенты должны уметь выводить самостоятельно.

Итак, при x ® 0:

sin x = x + o(x), tgx = x + o(x) ,

cos x = 1- x2 + o(x2 ), ex = 1+ x + o(x) , 2

ln(1+ x) = x + o(x), (1+ x)m = 1+ mx + o(x).

Эти асимптотические формулы можно применять в суммах, разностях и под знаками функций. Однако, не всегда они дают ответ на поставленный вопрос.

- 39 -

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. lim

3

1+ 3x - 4 1+ 8x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + 3sin x - tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+

1 × 3x + o(x) - (1+

1

×8x + o(x))

 

 

x -

 

x

+ o(x)

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

2

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

2x + 3(x + o(x)) - (x + o(x))

4x + o(x)

 

 

 

 

x®0

 

 

 

x®0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ o(x)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

2

 

 

 

x

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o(x)

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

4

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

что по определению символа o(×) имеем:

 

Здесь использован тот факт,

lim

o(x)

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x®0

x

 

tgx - sin x

 

 

 

(x + o(x)) - (x + o(x))

 

 

 

o(x)

 

 

 

o(x)

 

 

8. lim

 

= lim

= lim

= lim

: x = –

 

 

 

x2

x

 

 

x®0

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

x®0

 

частное бесконечно малых может быть любым. Такая ситуация означает, что соответствующая асимптотическая формула недостаточно точная. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будут даны уточнения:

sin x = x + o(x2 ) = x -

x3

+ o(x4 ) , tgx = x + o(x2 ) .

 

6

 

Задача. Вычислить пределы:

а) lim sin(p n2

+1);

б) lim( x2

+1 - 3

x3 +1).

n®¥

 

x®¥

 

 

Лекция 7

§12. Понятие непрерывности функции

Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в точке x0 и в некоторой ее окрестности.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

lim f (x) = f (x0 ) .

(1)

x®x0

 

Так как lim x = x0 , то соотношение (1) можно записать в следующем виде:

x®x0

 

lim f (x) = f ( lim x) ,

x®x0

x®x0

т.е. для непрерывной функции можно знак предела вносить под знак функции. Дадим еще одно определение непрерывности равносильное определению 1.

Для этого в равенстве (1) перенесем f(x0) в левую часть и внесем под знак предела. Так как условия x® x0 и (x – x0)® 0 равносильны, то получаем:

- 40 -

 

lim (f (x) - f (x0 ))= 0.

(2)

 

x-x0 ®0

 

Разность

x – x0 называется приращением

аргумента x в точке x0 и

обозначается

x, а разность f(x)– f(x0) приращением функции и обозначается

y. В этих обозначениях равенство (2) принимает вид:

 

 

 

 

 

lim Dy = 0.

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx®0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это соотношение и есть еще одно определение непрерывности, которое

можно сформулировать так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 2. Функция

f(x) называется непрерывной в точке x0, если ее

приращение

y=o(1) при

x® 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Докажем непрерывность y=sin x в произвольной точке x0 .

 

 

Dy = sin x - sin x = 2sin

x - x0

× cos

x + x0

= 2sin

Dx

× cos

x + x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученное выражение

есть

 

произведение

ограниченной функции

(2×

 

cosa

 

£ 2)

на бесконечно малую (в силу леммы 2 §10 sin

Dx

= o(1) при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x® 0 ). По одному из свойств б.м. функций получаем

y=o(1) при

x® 0, что

и доказывает непрерывность y=sin x

в произвольной точке x0 .

 

 

 

 

Определение 3. Функция f(x)

называется непрерывной в точке x0 слева

(справа), если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

æ

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = f (x0 ) ç lim

f (x) = f (x0 )÷.

 

 

 

 

 

 

 

x® x0 +0

 

 

 

è x® x0 -0

 

ø

 

 

 

 

Например, функция y=[x] непрерывна справа в любой целой точке, т.к. [k+0]=[k]=k, в то же время слева она не является непрерывной [k–0]=k–1[k].

Из общих теорем о пределах функций легко получить такие результаты. Теорема 1. Функция f(x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда

она непрерывна в этой точке, как справа, так и слева, т.е.

f(x0+0)= f(x0 0)= f(x0)

Теорема 2. Пусть функции f(x)и g(x) непрерывны в точке x0, а функция F(u) непрерывна в точке u0=f(x0). Тогда и функции f(x)±g(x), f(xg(x), f(x): g(x) (при условии g(x0)≠0 ) и F(f(x)) непрерывны в точке x0.

Если бы мы могли доказать непрерывность всех основных элементарных функций (как мы это сделали для синуса), то из теоремы 2 мы получили бы еще один важный результат.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой точке ее области определения (входящей в эту область с некоторой окрестностью).

Определение 4. Говорят, что функция f(x) непрерывна на промежутке a,b , если она непрерывна в любой точке промежутка (в граничных точках промежутка подразумевается одностороння непрерывность).

- 41 -

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.