МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

f '(c1 ) - f '(x0 ) = f ''(c2 )(c1 - x0 ),c2 Î(x0 ,c1 ).

Итак, для разности ординат точки графика и точки касательной имеем равенство: yô - yk = f ''(c2 )(c1 - x0 )(x - x0 ). Возможны два случая взаимного

расположения точек x, x0 , c1, c2 :

yф £ yk , график расположен ниже касательной, функция выпукла вверх. Теорема

доказана.

Замечание 1. Доказанная теорема имеет простую геометрическую иллюстрацию. Если функция выпукла вниз, то угловой коэффициент касательной, т.е. f '(x) возрастает, значит f ''(x) = ( f '(x))'> 0. Для выпуклой вверх

функции первая производная убывает, значит, вторая производная отрицательна.

при a < 0 и a >1, и выпукла вверх при 0 < a <1. При a = 0 или a =1 имеем линейную функцию f (x) = x или f (x) =1. Такие функции могут считаться как выпуклыми вверх, так и выпуклыми вниз.

II Точки перегиба

Определение 2. Точку M0 (x0 , f (x0 )) называют точкой перегиба графика функции y = f (x) , если она отделяет участки графика с противоположными

направлениями выпуклости.

Одно полезное свойство точки перегиба: если в точке перегиба существует касательная к графику функции, то она пересекает график.

Замечание 2. Часто это свойство принимают за определение точки перегиба. Но такое определение вовсе не равносильно данному выше. Кривая может и не иметь касательной в точке перегиба, а может случиться обратное: кривая пересекает касательную в точке, которая не отделяет участки с противоположными направлениями выпуклости. Примерами могут служить

- 82 -

y

y

0,5π

Можно привести и более интересный пример:

График этой функции в начале координат касается оси 0x и пересекает её; здесь существует непрерывная вторая производная, но она бесконечное множество раз меняет знак в окрестности нуля. (Предоставляем читателю самому провести все необходимые вычисления для этих функций).

Приведём без доказательств ряд теорем, в которых используется понятие критической точки второго порядка.

Определение 3. Точка x0 называется критической точкой второго порядка функции f (x) , если вторая производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба). Если M0 (x0 , f (x0 )) – точка перегиба функции f (x) , то x0 – критическая точка второго порядка.

- 83 -

Теорема 3 (первое достаточное условие точки перегиба). Пусть x0 – критическая точка второго порядка непрерывной функции y = f (x) и пусть существует d > 0 такое, что в окрестностях (x0 -d , x0 ) и (x0 , x0 + d ) вторая производная f ''(x) существует и имеет противоположные знаки. Тогда точка

существует в этой точке, т.е. эта точка – критическая точка второго порядка. Ещё одну такую точку найдём, решив уравнение f ''(x) = 0 : x2 = 3. Эти критические точки разбивают область определения D(y) = (-¥,0) È (0,+¥) на интервалы знакопостоянства второй производной, т.е. интервалы выпуклости самой функции. Знаки f ''(x) определяем так же, как и знаки f '(x) при исследовании на экстремум. Приходим к чертежу:

- 84 -

(над) соответствующей хордой или на ней. Для дифференцируемой функции это определение равносильно данному выше.

Замечание 4. Третье достаточное условие перегиба будет дано в следующей теме.

§5. Асимптоты графика функции

Если функция имеет бесконечные разрывы или определена на бесконечном промежутке, то в силу конечности размеров чертежа приходится довольствоваться лишь частью всего графика. Асимптоты позволяют отчетливо представить себе вид графика и за пределами чертежа.

Будем говорить, что точка M (x, y) удаляется в бесконечность, если расстояние d (O, M ) от точки до начала координат неограниченно

В зависимости от способа и различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

I Вертикальные асимптоты

Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен + ¥ или - ¥ (т.е. точка x = a – точка бесконечного разрыва).

- 85 -

вертикальная асимптота.

Отметим, что график функции может иметь любое число вертикальных асимптот. График же элементарной функции не может пересекать свою вертикальную асимптоту

II Горизонтальные асимптоты

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции

для этой функции ось абсцисс – асимптота и при x ® +¥, и при x ® -¥. Отметим, что график элементарной функции может иметь не более двух

асимптот: по одной на каждой из бесконечностей. Кроме того, график может

- 86 -

Напомним ещё два результата из теории пределов:

Докажем необходимость. Пусть p : y = kx + b – асимптота. Значит,

формулами (1), является асимптотой. Теорема доказана.

Замечание 1. Аналогично определяется наклонная асимптота для случая x ® -¥. Наклонных асимптот у графика элементарной функции может быть не более двух, причём горизонтальная асимптота – это частный случай наклонной. График может пересекать свою наклонную асимптоту.

Примеры.

7. Найдём асимптоты графика функции y = ln(1+ ex ).

lim ln(1+ ex ) = ln1 = 0 Þ y = 0 – асимптота при x ® -¥,

x®-¥

- 87 -

x ® +¥.

Заметим, что вертикальных асимптот график не имеет, ибо данная функция является непрерывной ( в силу элементарности ) на всей числовой оси.

x ® +¥ и x ® -¥.

Задача. Найти асимптоты графика функции y = 1+ x2 - x + 1x .

- 88 -

Лекция 14

§6. Общая схема исследования функции

На практике для построения графика функции y = f (x) иногда поступают так: из уравнения y = f (x) находят ряд точек графика и соединяют эти точки

плавной кривой. Однако, при таком методе легко пропустить какие-то важные особенности графика и допустить ошибку в построении.

Для построения графика функции необходимо исследовать её свойства. Можно предложить следующую схему исследования функции y = f (x) , заданной явно.

1.Найти область определения, область непрерывности, точки разрыва, пределы в точках разрыва и в граничных точках D(y).

2.Найти асимптоты графика функции.

3.Вычислить производные y' и y'' и найти критические точки первого и второго порядка.

5. По знакам y' найти интервалы монотонности и точки экстремума. По знакам y'' найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

6.Схематически изобразить в таблице поведение графика.

7.Нарисовать эскиз графика.

Замечания. а) Полезно исследовать функцию на четность и дичность. Чётную и нечетную функции достаточно исследовать лишь для а периодическую – на любом промежутке, длина которого равна периоду.

б) Полезно находить точки пересечения графика с осями координат.

в) Для уточнения поведения графика можно находить касательные в таких точках, как точки пересечения с осями координат, точки перегиба; в угловых точках находить односторонние касательные.

Пример. Исследовать функцию y = 3 3x2 - x3 и построить график. Решение. 1. D(y) = (-¥,+¥), функция всюду непрерывная, как элемен-

тарная.

2. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. В примере 8 предыдущего параграфа было установлено, что горизонтальных асимптот нет, а

прямая y = -x +1 является наклонной асимптотой при x ® +¥ и x ® -¥. 3. Вычисляем производные:

- 89 -

Критические точки первого порядка: x1 = 2, x2 = 0, x3 = 3. Критические точки второго порядка: x2 = 0, x3 = 3.

4. Составляем таблицу изменения знака производных y' и y'' . Первая строка изображает D(y) с отмеченными критическими точками. Во второй и третьей строках отмечены знаки производных в интервалах, на которые

- 90 -

y

1

3 x

1 2

§7. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Пусть функция y = f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b]. В

силу одного из свойств таких функций она достигает на этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как внутри промежутка, так и на его концах. Если своего наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке промежутка, то такая точка является точкой локального максимума (минимума), а значит и критической точкой первого порядка.

Можно предложить следующий алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений.

1.Найти f '(x).

2.Найти критические точки первого порядка и отобрать из них те, которые лежат внутри промежутка [a,b].

3.Вычислить значения функции в точках, полученных в предыдущем пункте, а также на концах отрезка.

4.Из ряда чисел, полученных в предыдущем пункте, выбрать наибольшее и

- 91 -