МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

III

Свойства б.б. последовательностей

1. Пусть {bn } - б.б. Тогда:

а) {bn } - неограниченна;

б) {- bn и {bn

- бесконечно большие;

в) {Cbn },C ¹ 0 - бесконечно большая;

г) если

g n

³

bn

, то {g n } - бесконечно большая;

д) если

lim

x

n =

a ¹ 0, то {xn × bn} - бесконечно большая;

n®¥

2. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно

большая.

Замечание 1. Сумма, разность и частное бесконечно больших может быть

каким угодно.

Пример. Любой многочлен от n

есть б.б.

Покажем это на конкретном

примере:

xn = 3n3 - 2n2 - 5n +1 = n3(3- 2× 1 - 5×

1

+

1

) =

n2

n

n3

= n3(3- o(1) - o(1) + o(1)) = n3(3+ o(1)).

Так как {n3 - эталонная б.б., а lim(3+ o(1)) = 3 ¹ 0 , то {xn} - б.б.

Замечание 2. Запишем ряд б.б., отношения которых является б.м.:

ln n << na << an << n!<< nn

(a > 0,a > 1)

Запись

a << b

означает,

что

a

= o(1) .

Докажем,

например,

что

b

an

= o(1) . Обозначим [a]= k и

a

= q < 1. Тогда для n > k

n!

k

+1

0 < xn =

an = a

× a

×...× a ×

a

×

a

×...× a

<

ak ×

a

×

a

×...×

a

=

k

+1

k

+ 2

k +1

k +1

k

+1

n! 1 2

k

n

k!

= ak qn-k = C × qn

= o(1), т.к. 0 < q < 1. Следовательно, и xn = o(1) .

k!

Доказательство того, что

ln n = o(1) и

na = o(1)

na

an

последовательности:

{Cxn}; {xn + yn}; {xn - yn};

{xn × yn}; {xn / yn},

если только lim yn ¹ 0. При этом:

n®¥

1)

lim Cxn = C lim xn

n®¥

n®¥

2)

lim (xn Ä yn ) = ( lim xn ) Ä ( lim yn )

n®¥

n®¥

n®¥

(здесь Ä - символ любой арифметической операции).

Ограничимся

доказательством

сходимости

частного.

Пусть

xn = a +an , yn = b + bn ,

где

an = o(1)

и

bn = o(1),b ¹ 0.

Преобразуем

частное следующим образом:

x

n

a

æ a +a

n

a

ö

a

(a +a

)b - a(b + b

)

a

ba

n

- ab

n

1

=

+ ç

-

÷

=

+

n

n

=

+

×

.

yn

b

ç

+ bn

b

÷

b

b(b + bn )

b

b

yn

è b

ø

В

полученном выражении

ban - abn = o(1), как

линейная

комбинация

b

ì 1

ü

- ограничена, т.к. lim yn ¹ 0. Следовательно,

бесконечно малых, а í

ý

î yn þ

xn

= a

xn

lim xn

+ o(1) . Это и доказывает: lim

=

n®¥

.

yn

b

n®¥ yn

lim yn

n®¥

Теорема 3 (предельный переход в неравенствах). Пусть последовательности

{xn} и {yn } - сходящиеся. Тогда, если

xn < yn

(или

xn £ yn ),

то и

lim xn £ lim yn . В частности:

n®¥

n®¥

а) если xn > 0

(xn < 0), то lim xn ³ 0

( lim xn £ 0) ;

n®¥

n®¥

б) если xn > a

(xn < a), то lim xn ³ a

( lim xn £ a) .

n®¥

n®¥

lim xn = lim zn = a

Теорема 4 (достаточное условие сходимости). Если

и для всех n справедливо неравенство xn £ yn £ zn ,

n®¥

n®¥

то

lim yn = a .

n®¥

O(e,b). Так

как

lim xn = b Þ $N1, "n ³ N1 : xn ÎO(e,b) ,

а

так как

n®¥

lim zn = b Þ $N2,

"n ³ N2 : zn ÎO(e,b) . Тогда

в

силу

неравенства

n®¥

xn £ yn £ zn имеем:

yn ÎO(e,b) "n ³ max(N1, N2 ) . Итак, для произвольной

e -окрестности мы нашли номер

N = max(N1, N2 ) , начиная с которого члены

{yn } принадлежат этой окрестности. Это и означает, что lim yn = b.

n®¥

Пример.

Рассмотрим

последовательность

с

общим

членом

zn =

1

+

1

+ ... +

1

.

n2

n2

n2

+1

+ 2

+ n

n

£ zn £

n

или

1

£ zn £

1

.

n2

n2

1

1

+ n

+1

1+

1+

n

n2

сходятся к 1. Значит, lim

1

= lim

1

=

1

= 1.

n®¥ 1+

1

n®¥ 1+

1

1

n

n2

lim f (xn ) = f (lim xn ) = f (a) .

n®¥

n®¥

Замечание 2. Обратим внимание

на следующее. Общий член zn

доказательства монотонности преобразуем член xn+1:

xn+1 =

((n +1)!)2

=

(n!(n +1))2

=

(n +1)2

×

(n!)2

=

(2(n +1))!

(2n)!(2n +1)(2n + 2)

(2n +1)(2n

+ 2)

(2n)!

n

=

× xn .

2(2n +1)

Мы получили рекуррентное соотношение

xn+1 = yn × xn , где yn =

n +1

.

4n + 2

yn Î(0,1) ,

Члены данной последовательности положительны, а

следовательно, xn+1 < xn , т.е. {xn} - убывает. Ее ограниченность

снизу

предела lim xn = C . Для последовательности yn нетрудно получить:

n®¥

yn = 1

+

0,5

=

1

+ o(1), т.е.

lim yn

=

1 .

4n + 2

4

4

n®¥

4

lim xn+1 = lim yn × lim xn или

C =

1

×C .

n®¥

n®¥ n®¥

4

xn =

1

и zn =

1

. Очевидно, что lim xn = lim zn = 0. При этом для

2pn

p

2pn +

n®¥

n®¥

2

последовательностей значений функции:

lim

f (xn ) = lim sin(2pn) = lim 0 = 0,

n®¥

n®¥

n®¥

lim

æ

p

ö

= lim 1 = 1.

f (zn ) = lim çsin 2pn +

2

÷

n®¥

n®¥è

ø

n®¥

b = lim f (x) Û "{xn

}( lim xn

= +¥) Þ ( lim

f (xn ) = b).

x®+¥

n®¥

n®¥

Аналогичное определение и для x ® -¥.

Пример 3. f (x) =

sin x

, a = +¥ . Рассмотрим "{xn}: lim xn = +¥. Тогда

x

ì

1

ü

для последовательности значений функции {f (xn )}= í

×sin xn ý будем иметь:

î xn

þ

1

= o(1) , т.к. {xn } - б.б., а {sin xn } - ограничена, значит

f (xn ) = o(1) , т.е.

xn

lim f (xn ) = 0. Это означает, что

lim

sin x

= 0.

x®+¥

x

Нетрудно убедиться, что и

lim

sin x

= 0. Для тех функций, для которых

x®-¥

x

lim

f (x) = lim f (x) = b,

можно писать lim f (x) = b .

Напротив, писать

x®+¥

x®-¥

x®¥

lim arctg x нельзя, ибо lim

arctg x = p , а

lim arctg x = - p .

x®¥

x®+¥

2

x®-¥

2

Геометрическая иллюстрация: конечный предел функции на

+ ¥(-¥)

означает наличие у графика функции

горизонтальной асимптоты на

+ ¥ (на

- ¥ ).

b = lim f (x) Û f (x) = b + o(1) при x ® a .

x®a

С) Бесконечно большие функции (b = ±¥).

Определение 4. Функцию

f (x) называют бесконечно большой (б.б.) в

точке x = a (при x ® a ), если lim f (x) = +¥ или - ¥ , т.е.

x®a

"{xn}( lim xn = a, xn ¹ a) Þ {f (xn )}

- б.б. последовательность опреде-

n®¥

ленного знака.

Все свойства б.м. и б.б. последовательностей остаются справедливыми и

для б.м. и б.б. функций. Приведем лишь некоторые из них.

Теорема 2.

Для того, чтобы функция

f (x) была бесконечно большой в

точке x = a необходимо и достаточно, чтобы функция

1

была бесконечно

f (x)

малой в этой же точке.

И два свойства.

1) Если a(x) = o(1) при

x ® a , а

f (x) - ограничена в

некоторой

окрестности точки x = a , то произведение a(x)× f (x) = o(1) при x ® a .

2) Если b (x) - б.б. в точке x = a , а

f (x) такова,

что

lim f (x) = b ¹ 0,

b (x)× f (x) есть б.б. функция при x ® a .

x®a

то произведение

Например,

f (x) = x ×sin

1 = o(1)

в точке

x = 0, а

многочлен

x

g(x) = x2 - 7x -1 есть б.б. на ± ¥ , ибо g(x) = x2 (1- 7

-

1

) = x2 (1+ o(1)).

x2

x

xa ,a > 0

1