Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Нетрудно заметить, что "a > 0,"a > 1
lim	xa	= 0.

x®+¥ ax

Другими словами, xa << ax или xa = o(ax ) при x ® +¥ .

Замечание 3. Правило Бернулли-Лопиталя можно применять только, когда

предел отношения производных существует. Например,

x + sin x

lim

= lim

ç1

sin x÷ = 1,

x®¥

x®¥è

но lim

(x + sin x)¢ = lim(1+ cos x) не существует. Этот пример показывает, что

x®¥

x¢

x®¥

f ¢(x)

f (x)

из не-существования

lim

нельзя делать вывод о

lim

g¢(x)

x®a

g(x)

Замечание 4. Существуют ситуации, в которых применение правила

Бернулли-Лопиталя ничего не дает.

1+ x2

é¥

ù = lim

= é¥

ù.

Пример 3. lim

1+ x2

= lim

x®+¥

1+ x

ë¥

û x®+¥

ë¥

Еще одно применение правила вернет нас к исходному пределу.

III Другие виды неопределенностей.

Еще раз напомним, что правило Бернулли-Лопиталя применимо лишь к

неопределенностям вида 0

¥ .

Все остальные неопределенности необходимо

сводить к одной из этих двух путем алгебраических преобразований.

А)

[0× ¥].

Так как

a ×b =

то эту неопределенность можно

1/b

1/ a

свести к

0 или

é¥

ln x

Пример 4. Для a > 0

lim

ln x = [0

× ¥] = lim

= ê

-a

®0+0

x®0 x

ë¥

= lim

1/ x

= -

lim xa = 0.

x®0 -a × x-a -1

a x®0

Заметим, что, если иначе преобразовать произведение в частное, то

применение

правила

Бернулли-Лопиталя

приводит

усложнению

неопределенности:

0ù

a × xa -1

lim x ln x = lim

= ê

= lim

= -a lim x

x .

-1

- ln

-2

x ×1/ x

x®0

x®0 ln

0û

x®0

- 72 -

B) [¥ - ¥]. Так как a - b =

1/b -1/ a

,то данная неопреде-

1/ a

1/b (1/ a) × (1/b)

ленность сводится к виду

. Часто, впрочем, того же удается достигнуть проще.

x cos x - sin x

1 ö

[¥ - ¥]= lim

Пример 5. limçctg x -

÷ =

x ×sin x

x®0

x ø

x®0

= lim

1× cos x - xsin x - cos x

- lim

xsin x

1×sin x + x × cos x

x®0

x®0 sin x + xcos x

= lim

sin x + xcos x

0 + 0

= 0.

1+1- 0

x®0 cos x + cos x - xsin x

Вычисления можно упростить, если перед первым применением правила

использовать эквивалентность sin x ~ x ,

x ® 0 :

lim

xcos x - sin x

= lim

- xsin x

= -

1 limsin x = 0 .

x®0

x × x

®0

2 x®0

С)

[1¥ ],

[00 ],

[¥0 ].

Так

как

ab = eb ln a

(основное

логарифмическое

lim u(x)

тождество) и

lim eu(x) = ex®0

(непрерывность

показательной

функции), то

x®0

[0× ¥].

неопределенности этих типов сводятся к неопределенности вида

Пример 6. lim

lim x ln x

= e0 = 1

[00 ] = ex®0

(смотри пример 4).

x®0

Пример 7. lim

= lim n n = [¥

] = expílim

ln ný

n®¥

în®¥ n

ln nü

= 1

(смотри пример 1).

= expía lim

ý = e

n®¥

n þ

Замечание 5. Раскрывая неопределенности по правилу Бернулли-Лопиталя, следует использовать и другие методы вычисления пределов: эквивалентности, замена переменной и т.д.

Пример 8. lim sin(x		2	æ	1	ö	= lim x	2	æ	1	ö	= [0 × ¥] =
Пример 8. lim sin(x			)expç		÷	= lim x		expç		÷	= [0 × ¥] =
x®0	+0		è x		ø	x®0+0		è x		ø

æ 1

expç

= t

é¥

è x

= lim

= í

lim

= ê

= ¥

(смотри пример 2).

x®0+0

x®0+0 t

ît ® +¥þ

- 73 -

Тема ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

Лекция 12

§1. Условие постоянства функции

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a,b] и во всех внутренних точках отрезка f '(x) = 0, то f (x) постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть x Î(a,b). Применим теорему Лагранжа к функции

y = f (x) на промежутке [a, x]:	f (x) - f (a) = f '(c), c Î(a, x). Но по
условию f '(c) = 0, следовательно, f (x) - f (a) = 0 и поэтому				f (x) = f (a)
" x Î(a,b) (на правом конце f (b) = f (a) в силу непрерывности).
Пример. Рассмотрим функцию	f (x) = arctg x + arctg	1	- x	на
			+ x
	1

промежутке (-1;+¥) . Её производная:

f '(x) =	1	+	1		×	- 2	=
	+ x2		1- x ö2			+ x)2
1		æ			(1
		1+ ç		÷

		è	1+ x ø

=	1	+ =	(1+ x)2	×	- 2	= 0.
=	+ x2	+ =	(1+ x)2 + (1- x)2	×	+ x)2	= 0.
1	+ x2		(1+ x)2 + (1- x)2	(1	+ x)2
Следовательно, f (x) ºconst на (-1;+¥) . Чтобы найти эту константу, достаточ-
но вычислить			f (x) в любой точке, например,				f (0) = arctg0 + arctg1 = p .
								4
Итак, мы доказали тождество arctg x + arctg							1- x	º p , x Î(-1,+¥) .
Итак, мы доказали тождество arctg x + arctg							1+ x	º p , x Î(-1,+¥) .
							1+ x	4
	В интегральном исчислении важное приложение найдет следствие,
вытекающее из доказанной теоремы.
	Следствие. Если функции			f (x) и g(x)непрерывны на промежутке [a,b] и

имеют равные производные во всех внутренних точках промежутка, то эти функции всюду в [a,b] отличаются лишь на постоянную: f (x) = g(x) + C .

Для доказательства достаточно применить теорему к вспомогательной функции h(x) = f (x) - g(x) . Тогда h(x) = C и f (x) = g(x) + C .

- 74 -

§2. Условие монотонности функции

Известно, что функция f (x) называется строго возрастающей на (a,b),

если для любых точек x1, x2 Î(a,b) из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) < f (x2 ) . Другими словами знак приращения функции совпадает со

знаком приращения аргумента: sign Df = sign Dx .

Для убывающей функции,

естественно,

sign Df = -sign Dx .

Теорема.

(Достаточное

условие

монотонности).

Пусть

функция

f (x) дифференцируема на (a,b). Тогда:

1) если

f '(x) > 0

на

(a,b), то

f (x) строго возрастает на (a,b);

2) если

f '(x) < 0

на

(a,b), то

f (x) строго убывает на (a,b).

Доказательство. Возьмём две произвольные точки

x1, x2 Î(a,b) , причём

пусть

x1 < x2 .

Применим

теорему Лагранжа к функции

f (x) на промежутке

[x1, x2 ] (условия теоремы выполнены,

ибо непрерывность

f (x) вытекает из её

дифференцируемости):

f (x2 ) - f (x1) = f '(c) × (x2 - x1), c Î (x1, x2 ).

По

предположению

x2 - x1

> 0 , следовательно, знак

f (x2 ) - f (x1 ) определяется

знаком

производной.

Если

f '(x) > 0,

то

f (x2 ) - f (x1 ) > 0

f (x2 ) > f (x1 ) ; т.к. это верно для любых

x1, x2 Î(a,b) ,

то f (x) возрастает на

(a,b). 2) Если

f '(x) < 0, то и f (x2 ) - f (x1 ) < 0

f (x2 ) < f (x1 ), что означает

убывание f (x) .

Замечание. Связь

между

знаком

f '(x)

направлением

изменения

f (x) геометрически очевидна, если вспомнить, что производная – это угловой

коэффициент касательной к графику			f (x) .	Однако, даже у строго монотонной
функции f (x)	касательная может		быть	и	горизонтальной, т.е.		f '(x) для
отдельных значений		x может обращаться		в	0. Примером служит функция
f (x) = x3 : она строго возрастает, но производная						f '(x) = 3x2	при	x = 0
обращается в ноль.								f (x) к
Итак, теорема сводит вопрос о возрастании (убывании) функции
решению неравенства		f '(x) > 0 ( f '(x) < 0).
Пример. Исследовать на монотонность функцию						f (x) = x3 - 3x . Находим
производную	и	разлагаем			её	на	множители:
f '(x) = (x3 - 3x)'= 3x2 - 3 = 3(x +1)(x -1) .					Метод	интервалов	позволяет
определить знак	f '(x) :
			- 75 -

+ – +

-	-–11	1
-

На интервалах (-¥;-1) и (1;+¥) функция возрастает, а на (-1;+1) – убывает.

§3. Исследование функции на экстремум

Напомним уже известные факты. Во-первых, точка экстремума – это всегда внутренняя точка области определения функции; она характеризуется тем, что знак приращения функции не зависит от знака приращения аргумента, если последнее достаточно мало. Во-вторых, необходимое условие экстремума даётся теоремой Ферма: если в точке экстремума функция дифференцируема (т.е. обладает конечной производной), то производная в этой точке равна 0.

Точки, в которых производная функции обращается в ноль, принято называть стационарными точками.

Однако, если рассматривать функции, не имеющие в отдельных точках конечной двусторонней производной, то не исключена возможность, что экстремум придётся на какую на какую-либо из таких точек. Например, функции f (x) = x2 / 3 и g(x) = x имеют в x = 0 минимумы, в тоже время f+ '(0) = +¥ , f- '(0) = -¥ и g+ '(0) = 1, g- '(0) = -1.

Определение. Точку x0 Î D(y) называют критической точкой первого порядка функции y = f (x) , если f '(x0 ) = 0 или f ¢(x0 ) не существует.

Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума следует искать среди критических точек (их ещё называют точками возможного экстремума). Требуется дополнительное исследование таких точек, чтобы отобрать среди них точки экстремума. Это исследование выполняется с помощью достаточных условий экстремума.

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума).		Пусть	x0	–	крити-
ческая точка первого порядка	непрерывной функции	y = f (x)		и	пусть
существует d > 0 такое, что	в односторонних окрестностях		этой		точки:

O- = (x0 - d , x0 ) и O+ = (x0				, x0 + d ) – функция f (x)				дифференцируема и её
производная сохраняет знак. Тогда:
1) если	f '(x) > 0	в	O-	и	f '(x) < 0	в	O+ , то x0	– точка максимума;
2) если	f '(x) < 0	в	O-	и	f '(x) > 0	в	O+ , то x0	– точка минимума;
3) если	f '(x) одного знака в O- и O+ ,						то в точке x0 нет экстремума.
Доказательство.		1)	Возьмём произвольные точки x1 ÎO- и x2 ÎO+ и
рассмотрим функцию		f (x) на двух промежутках: [x1, x0 ] и [x0 , x2 ]. На каждом

- 76 -

из этих промежутков функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа,

следовательно, существуют точки c1 ÎO-			и	c2 ÎO+ такие, что:
f (x0 ) - f (x1 ) = f '(c1 )(x0 - x1 ) > 0 ,
f (x2 ) - f (x0 ) = f '(c2 )(x2 - x0 ) < 0.
Из этих	неравенств вытекает,	что		f (x0 ) > f (x1 )		и	f (x0 ) > f (x2 )
"x1 ÎO- , "x2 ÎO+ . Таким образом значение					f (x0 ) –	самое большое среди
значений	f (x) для x ÎO- È O+ . Это и означает: x0 – точка максимума.
2) Доказывается аналогично.
3) Если f '(x) > 0, x ÎO- È O+ , то			f (x)		возрастает как в O- , так и в O+ .
Если же	f '(x) < 0, x ÎO- È O+ , то	f (x)		убывает в тех же окрестностях. В
обоих случаях такое поведение функции говорит о том, что в точке							x0 у неё нет
экстремума.

Замечание 1. Требование непрерывности функции нельзя ослабить, о чем свидетельствует рисунок: в точке x0 функция имеет максимум, в то же время при переходе через эту точку производная не меняет знак.

0 х0

Замечание 2. Доказанную теорему не всегда можно применить, ибо для некоторых функций требование сохранения знака производной не выполняется. Например, для функции

ì		x	2		2p
ïx2	+	x		sin	2p	, x ¹ 0,
ïx2	+	2p		sin	x	, x ¹ 0,
ï		2p			x
f (x) = í
ï			0, x = 0,
ï			0, x = 0,
î

имеем:

- 77 -

x2 +

- 0

f (x) - f (0)

sin

2p ö

f '(0) = lim

= lim

sin

= 0 ,

x - 0

= limç x +

x®0

x®0è

значит, точка 0 – критическая точка.

Далее, для

x ¹ 0

2p ö

f '(x) = 2x +

×sin

- cos

= x ×ç2 +

sin

- cos

Выражение в скобках ограничено, поэтому при						x близких к нулю первый член
полученной разности также близок к нулю, а						второй член принимает значения
от –1	до +1. Значит, знак				f '(x) определяется членом		æ	2p ö
							ç- cos	÷ . Но в точках
							è	x ø
вида	xn =	4×(-1)n		этот	член обращается в	ноль и	меняет знак. А так как
		1	+ 2n

xn ® 0 при			n ® ¥ , то в любой сколь угодно малой окрестности нуля						f '(x)
бесконечное число раз меняет знак.									f (x)
	Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция

имеет в критической точке x0 конечную вторую производную. Тогда:

1)если f ''(x0 ) > 0, то x0 – точка минимума;

2)если f ''(x0 ) < 0, то x0 – точка максимума;

3)если f ''(x0 ) = 0, то требуется дополнительное исследование. Доказательство. Существование конечной производной f ''(x0 ) означает,

что существует конечная производная f '(x) в некоторой окрестности точки x0 и f '(x0 ) = 0, ибо x0 – критическая точка. Обозначим f '(x) = g(x) . Тогда условия теоремы означают, что существует конечный предел

f ''(x0 ) = g'(x0 ) = lim		Dg	= lim	g(x) - g(x0 )			.
		Dx
	Dx®0		x®x0	x - x
					0
Пусть, например, f ''(x0 ) > 0 . Тогда для			x близких к		x0 и	Dg		> 0, то есть

sign Dg = sign Dx .						Dx
	Это означает, что функция g(x)				возрастает в некоторой
окрестности точки	x0 . Но g(x0 ) = f '(x0 ) = 0. Следовательно,					левее точки x0
функция g(x) отрицательна, а правее – положительна.					Однако, g(x) = f '(x).

Значит, первая производная данной функции при переходе через точку x0 меняет

знак с «–» на «+».	Это означает, что точка		x0 – точка минимума. Аналогично
рассматривается и	случай	f ''(x0 ) < 0.	В необходимости дополнительного
		- 78 -

исследования,	когда f ''(x0 ) = 0,	убеждают две функции: f (x) = x3	и g(x) = x4 .
Очевидно, что	f '(0) = g'(0) = 0	– точка 0 критическая для обеих функций, и
f ''(0) = g''(0) = 0. Однако, для g(x) ноль – это точка минимума, а			f (x) в нуле

не имеет экстремума.

Замечание 3. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будет сформулировано и доказано третье достаточное условие экстремума, с помощью

которого и производится это дополнительное исследование.

Пример 1. Найти точки экстремума функции f (x) =

x -1

Решение.

Раскроем знак модуля и вычислим производную:

1- x

x - 2

2 , x -1 < 0, x ¹ 0,

, x < 1, x ¹ 0,

f (x) =

-1

f '(x) = í

- x

x2 , x -1 ³ 0;

x3 , x > 1.

Наличие модуля в выражении для

приводит, к несуществованию		f '(x)
Действительно,			x - 2
f- '(1) = lim	f '(x) = lim
			x3
x®1-0	x®1-0
f+ '(1) = lim	f '(x) = lim	2 - x
x®1+0	x®1+0		x3

f (x) может привести, и в нашем случае в точке, где модуль обращается в ноль.

=-1,

=+1.

Отличие левой производной от правой и означает отсутствие производной в точке

x =1, т.е. эта точка – критическая. Другие критические точки – это нули производной: f '(x) = 0 Û x = 2.

Итак, имеем две критические точки x1 = 1, x2 = 2. Они разбивают область определения функции D(y) = (-¥,0) È (0,+¥) на интервалы знакопостоянства производной, т.е. на интервалы монотонности функции. Для определения знака f '(x) на интервале достаточно определить этот знак в какой-либо точке

интервала. Дальнейшее исследование удобно вести, нарисовав вспомогательный чертёж:

знак у'	+		–	+		–
	+		–	+		–
						x
						x
		0		1	2

Еще раз напомним, что критические точки наносятся на область определения. Мы получаем 4 интервала. Определяем знаки y':

- 79 -

f '(-1) =	-1- 2	> 0;	f '(0,5) =		0,5 - 2			< 0;
	(-1)3				0,53
f '(1,5) =	2 -1,5	> 0;	f '(3) =	2 -		3	< 0.
f '(1,5) =	3	> 0;	f '(3) =	3			< 0.
	1,5				3

Анализ чертежа показывает: в точке x1 = 1 функция имеет локальный минимум, причём ymin = 0 , а в точке x2 = 2 – локальный максимум: ymax = 0,25.

На чертеже видны и интервалы монотонности f (x) : на (-¥,0) и (1,2) функция возрастает, а на (0,1) и (2,+¥) – убывает.

Замечание 4. В точке максимума x2 = 2 рассмотренная функция имеет

нулевую производную и касательная к графику функции – горизонтальна. О таком максимуме говорят «гладкий максимум» (аналогично «гладкий минимум»).

В противоположность этому, точка x1 = 1 является точкой «негладкого минимума» – в этой точке производная не существует, хотя есть односторонние

производные. Соответствующая точка графика M0 (1,0) называется		угловой
точкой графика.
Пример 2. Найти экстремумы функции	f (x) = 3x4 + 8x3 -18x2	+13.
Решение. f '(x) = 12x3 + 24x2 - 36x	– существует везде.

f '(x) = 0 Û x(x2 + 2x - 3) = 0 Û x = 0, x		2	= -3, x = 1.
	1	2	3
f ''(x) = 36x2 + 48x - 36.
f ''(0) < 0 Þ x1 = 0	– точка максимума;
f ''(-3) > 0 Þ x2 = -3 – точка минимума;
f ''(1) > 0 Þ x3 = 1	– точка минимума.

Лекция 13

§4. Исследование функции на выпуклость и перегиб

I Направление выпуклости (вогнутости)

Пусть функция

f (x) дифференцируема на интервале (a,b).

Дифференцируемость означает существование конечной производной, что, в свою очередь, означает наличие у графика функции невертикальной касательной. А для такой прямой есть понятия «выше» и «ниже».

Определение 1. Дифференцируемая функция f (x) называется выпуклой вниз (вверх) на интервале (a,b), если её график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a,b).

Говорят ещё: «график функции направлен выпуклостью вниз (вверх)». Вместо «выпукла вниз (вверх)» говорят иногда «вогнута вверх (вниз)». Ещё

- 80 -

вместо «выпуклая вверх» говорят просто «выпуклая», а вместо «выпуклая вниз» – «вогнутая».

На рисунке слева изображен график функции выпуклой вниз, а справа – вверх.

0	а	b	х	0	а	b	х

	Теорема	1 (первое достаточное		условие		выпуклости). Пусть функция

y = f (x) имеет на интервале (a,b) конечную производную второго порядка.

Тогда:

1)если f ''(x) ³ 0 на (a,b), то f (x)

2)если f ''(x) £ 0 на (a,b), то f (x)

направлена выпуклостью вниз; направлена выпуклостью вверх.

Доказательство.			Обозначим:			yф = f (x)	–	ордината		точки	графика
функции с абсциссой			x ;	yk – ордината точки касательной к графику с той же
абсциссой. Если		x0 – произвольная точка из (a,b),						то уравнение касательной к
графику	f (x) в точке с абсциссой				x0	имеет вид:	yk	= f (x0 ) + f '(x0 ) ×(x - x0 ) .
Составим	разность		ординат:			yф - yk = f (x) - f (x0 ) - f '(x0 ) × (x - x0 ) .
Существование		f ''(x)		означает,	что существует			(и	непрерывна)		f '(x) и,
следовательно,		f (x)	– непрерывна. Тогда к функции						f (x)	на промежутке
[x0 , x] применима теорема Лагранжа:
		f (x) - f (x0 ) = f '(c1)(x - x0 ), c1 Î(x0, x).
Тогда
yô - yk = f '(c1)(x - x0 ) - f '(x0 ) × (x - x0 ) = ( f '(c1) - f '(x0 )) × (x - x0 ).
Функция	f '(x)	непрерывная и дифференцируемая, значит, к ней можем приме-

нить теорему Лагранжа на промежутке [x0 ,c1] :

- 81 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016159.74 Кб8М_указания_к_практике_2_курс.doc
#
03.03.2016256.98 Кб27МАВ.docx
#
03.03.201657.3 Кб120макет учебного плана.docx
#
03.03.2016274.94 Кб13Макро Курс лекций.doc
#
03.03.2016144.9 Кб5маркет - заочн.doc
#
03.03.20161.71 Mб25МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1.pdf
#
03.03.20163.71 Mб77материаловедение 10 вариант.docx
#
03.03.2016136.19 Кб3МВ ДІ курсовий проект 2012 семестр 1.doc
#
03.03.2016296.96 Кб33МВ ДИ практ.doc
#
03.03.2016480.26 Кб11МВ ДИ сам.doc
#
03.03.20166.04 Mб7МД_gorn.pdf