МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

§5. Дифференцируемость и полный дифференциал

Теорема 1. Если функция z(x, y) дифференцируема в точке M 0 (x0 , y0 ),

то: 1) она непрерывна в этой точке; 2) она имеет в этой точке конечные производные, причем z¢x (M0 ) = A, z¢y (M0 ) = B .

Доказательство первого утверждения сразу следует из (1) и замечания к §3.

Аналогично доказывается и z¢y (M0 ) = B.

В отличие от функций одной переменной (для которых дифференцируемость равносильна существованию конечной производной), для функций нескольких переменных из существования частных производных не следует непрерывность и дифференцируемость. Это доказывается следующим примеров.

Пример. Рассмотрим функцию

ìxy (x2 + y2 ),если x2 + y2 ¹ 0 z(x, y) = í

î0,если x = 0, y = 0.

Аналогично z¢y (0,0) = 0. В то же время эта функция не является непрерывной (а

следовательно, является недифференцируемой) в начале координат, ибо ее предел в этой точке не существует (см. пример 2 §3).

Таким образом, функция z(x, y) имеет конечные производные в точке O(0,0) , но не является непрерывной в этой точке. Эта ситуация связана с тем, что существование частных производных в точке M 0 (x0 , y0 ) определяется

- 112 -

поведением функции на прямых y = y0 и x = x0 , а непрерывность зависит от

поведения функции во всей окрестности точки М0.

Примем без доказательства теорему, устанавливающую достаточные условия дифференцируемости.

Теорема 2. Если функция z = z(x, y)имеет частные производные в некоторой окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) и эти производные непрерывны в самой точке M0 , то функция дифференцируема в точке M0 .

Определение 2. Главная часть полного приращения дифференцируемой функции, линейная относительно приращений аргументов, называется полным

равносильно одновременному стремлению к нулю приращений Dx и Dy .

Формулу (1) можно теперь переписать в виде

Dz = dz +o(r), r ® 0.

получим приближенную формулу

Dz » dz ,

которая используется в приближенных вычислениях.

Замечание. С геометрической точки зрения, дифференцируемость функции z = z(x, y)в точке M 0 (x0 , y0 ) означает наличие касательной плоскости к графику функции в точке N0 (x0 , y0 , z(x0 , y0 ))(см. ниже §8).

§6. Производные сложных функций

Приведем без доказательства ряд формул дифференцирования сложных функций. Все встречающиеся функции одной или нескольких переменных считаем дифференцируемыми.

1. Если y = F(u), a u = j(x),то

y¢x = (F (j(x)))¢ = F¢(j(x)) ×j¢(x).

2. Если z = z(u,v), а u = u(x),v = v(x), то для сложной функции одной

переменной z(u(x),v(x)) имеем

z¢x = zu¢ ×u¢x +zv¢ × v¢x ,

или используя другие обозначения,

- 113 -

Замечание 1. Формулы (1), (2), (3) легко обобщаются на случай функций трех и более переменных.

Замечание 2. Формулы (1), (2), (3) необходимы в теории для получения других важных результатов. На практике в случае конкретных функций нетрудно исключить зависимость функции от промежуточных переменных. Например, если z(u,v) = 2u2 - v2 ,а u(x) = sin x и v(x) = cos x , то z как функция x имеет вид

z(x) = 2sin2 x - cos2 x.

§7. Сущестование и дифференцируемость неявной функции

Теорема. Пусть функция двух переменных F(x, y)и ее частные производные Fx¢ и Fy¢ непрерывны в некоторой окрестности точки M 0 (x0 , y0 ), причем: F(x0 , y0 ) = 0, а Fy¢(x0 , y0 ) ¹ 0. Тогда уравнение F(x, y) = 0 определяет (в некоторой окрестности точки x0 ) единственную функцию y = y(x). Эта функция дифференцируема и

определяет некоторую функцию y(x), означает следующее: F(x, y(x)) º 0 (в некоторой окрестности точки x0 ). Продифференцируем это тождество почленно, используя формулу (2) предыдущего параграфа:

- 114 -

Таким образом, вектор-функция – это упорядоченная тройка обычных функций одной переменной. А так как

концы составят в пространстве некоторую линию, которую называют

II Физический смысл производной вектор-функции

Положение точки М в пространстве можно задавать ее координатами (в не-

______

которой системе координат), а можно задавать и радиус-вектором r = OM , где О – начало координат. Если точка М движется, то r зависит от времени, т.е. движение точки в пространстве можно задавать вектор-функцией r = r (t), где t – время из некоторого промежутка. Годограф этой функции – это траектория движения. Производная r¢(t) – это вектор мгновенной скорости:

v(t) = {x¢(t), y¢(t), z¢(t)}.

III Уравнения касательной

Линию в пространстве обычно задают системой параметрических уравнений

Другими словами, касательная в точке M0 – это та прямая, проходящая через

- 116 -

xbcost0 - ab cos2 t0 = - yasin t0 + absin2 t0 ,

bxxa 0 + ayyb 0 = ab.

Разделив обе части последнего равенства на а .b, получим известную формулу для касательной к эллипсу в его точке M0 (x0 , y0 ):

xxa20 + yyb20 =1.

§9. Касательная плоскость к поверхности

Рассмотрим уравнение с тремя переменными F(x, y, z) = 0. В координатном пространстве оно определяет некоторую поверхность (s ).

Определение 1. Точка P0 (x0 , y0 , z0 )Î(s ) называется обыкновенной, если в этой точке существуют конечные производные Fx¢, Fy¢, Fz¢, причем они не обра-

щаются в ноль одновременно. В противном случае точка называется особой. Определение 2. Прямая линия называется касательной прямой к поверх-

ности (s ) в ее обыкновенной точке P0 , если она является касательной к некоторой линии, лежащей на (s ) и проходящей через точку P0 .

Теорема. Все касательные прямые к поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.

Доказательство. Пусть линия

ìx = x(t), L : ïíy = y(t),

ïîz = z(t)

лежит на данной поверхности (s ): F(x, y, z) = 0 и проходит через ее точку P0 (x0 , y0 , z0 ). Это означает следующее:

1)F(x(t), y(t), z(t)) º 0;

2)существует значение t0 такое, что x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 ), z0 = z(t0 ).

Продифференцируем тождество из пункта 1): Fx¢ × x¢(t) + Fy¢ × y¢(t) + Fz¢ × z¢(t)≡ 0.

Рассмотрим этот результат в точке t = t0 :

Fx¢(x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) × x¢(t0 ) + Fy¢(P0 ) × y¢(t0 ) + Fz¢(P0 ) × z¢(t0 ) = 0.

- 118 -

Отсюда l2 = 4 и l = ±2. Имеем две точки касания (и две касательные плоскости):

P01 = (1,1,-1)и P02 = (-1,-1,1) .

Уравнения касательных плоскостей

1× (x -1) +1× (y -1) - 2× (z +1) = 0 и 1× (x +1) +1× (y +1) - 2× (z -1) = 0.

После упрощения получим:

x + y - 2z - 4 = 0 и x + y - 2z + 4 = 0.

Приведем ряд задач для самостоятельного решения.

1)Дана поверхность (s ): x × y × z = a3 (a > 0). Доказать, что любая каса-

тельная плоскость к (s ) образует с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.

2)Дана поверхность (s ): x + y + z = a . Доказать, что любая касса-

тельная плоскость к (s ) отсекает от координатных осей отрезки, сумма длин которых постоянна.

3) Дана поверхность (s ): z = x × f (yx), где f (t)– дифференцируемая

функция. Доказать, что все касательные плоскости к (s ) пересекаются в одной точке.

Лекция 20

§10. Производные высших порядков

Если функция z = z(x, y)имеет частные производные z¢x (x, y) è z¢y (x, y)

в каждой точке некоторой области D , то они представляют собой функции двух переменных, определенные в D . Может случиться, что эти функции имеют в D частные производные. Тогда эти производные называются частными производными второго порядка

Используются и другие обозначения, например:

ка. При некоторых условиях смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Теорема. Пусть функция z(x, y) имеет в области D частные производные

z¢x , z¢y , z¢xy¢ , z¢yx¢ . Пусть, кроме того, смешанные производные z¢xy¢ и z¢yx¢ непре-

рывны в D . Тогда имеет место равенство

z¢xy¢ = z¢yx¢ .

- 120 -