Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Пример 1.

Написать разложении функции

f (x) = esin x

до x3 .

В силу I имеем:

esin x = 1+ sin x +

1 sin2

x + 1 sin3 x + o(x3 ), где остаточный член

o(sin3 x) = o(x3) , так

как

sin x » x,

x ® 0 . Далее, в

силу II имеем:

sin x = x -

+ o(x

) . Таким образом

esin x

= 1+ (x -

x3 ) +

x2 +

+ o(x3 ).

После упрощения получим искомое разложение

esin x = 1+ x +

x2 + o(x3 ).

Пример 2.

Написать разложение функции y = ln(cos x) до члена с x6 .

Согласно IV,

ln(cos x) = ln(1+ (cos x -1)) = (cos x -1) -

(cos x -1)2

(cos x -1)3 + o((cos x -1)3 .

Необходимое разложение для cos x (см. III) выпишем в нескольких вариантах:

cos x -1 = - 12 x2 + 241 x4 - 7201 x6 + o(x7 ); cos x -1 = - 12 x2 + 241 x4 + o(x5 );

cos x -1 = -	1	x2			+ o(x3).
cos x -1 = -	2	x2			+ o(x3).
	2
Учитывая, кроме всего, и cos x -1 ~ –0,5х2,																			х→ 0, получим:
æ			1			2		1		4		1		6	ö		1 æ		1		4		1		6	ö		1	æ		1		6	ö		6
ln(cos x) = ç	-			x			+		x		-		x		÷	-		ç		x		-		x		÷	+		ç	-		x		÷	+ o(x		).
ln(cos x) = ç	-		2	x			+	24	x		-	720	x		÷	-		ç	4	x		-	24	x		÷	+	3	ç	-	8	x		÷	+ o(x		).
è			2					24				720			ø		2 è		4				24			ø		3	è		8			ø

После приведения подобных членов будем иметь:

ln(cos x) = - 12 x2 - 121 x4 - 451 x6 + o(x6 ) .

- 102 -

§5. Приложения формулы Маклорена

I Вычисление пределов

В §11 темы «Введение в математический анализ» были приведены т.н. асимптотические формулы (ещё говорят «асимптотические оценки») такие, как:

sin x = x + o(x), cos x = 1-	x2	+ o(x2 ) (при	x ® 0 ) и т.п. Фактически они

2

являются частными случаями формул Маклорена для соответствующих функций. Для вычисления простых пределов тех формул было достаточно. Однако, при работе со сложными пределами требуются формулы Маклорена более высокого порядка. Например, предел

lim

x - sin x

x®0

при помощи формулы sin x = x + o(x) вычислить невозможно, ибо

lim

x - sin x

= lim o(x)

= lim o(x) ×

= [0 × ¥] = ?

x®0

®0

Если

же

возьмём для

sin x

формулу

Маклорена

третьего порядка

sin x = x -

+ o(x4 ) , легко получим

x - sin x

x - (x - x3 / 6 + o(x

4 ))

o(x4 ) ö

lim

= lim

= limç

÷ =

x®0

x®0è

- lim

o(x4 )

× x =

- 0 × 0 =

®0

Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 1. Вычислить предел

sin x - x + x3 / 6

I = lim (ex2 -1- x2 )(7 1- x -1) .

Для вычисления используем такие формулы:

sin x = x -

+ o(x6 ),

x ® 0;

et = 1+ t +

+ o(t2 ), где t = x2 ,

x ® 0;

7 1- x -1 ~

(-x), x ® 0.

Имеем:

- 103 -

x3 ö

ç x

- x3

/ 6 +

+ o(x6 )÷ - ç x -

120

I = lim

(1+ x2 + x4 / 4 + o(x4 )) - (1+ x2 ))×

x®0

(-x)

+ o(x6 )

o(x6 )

120

= lim

120

= -7 lim

= -7 × 120

= -

o(x4 )

x®0

x(x

/ 4

+ o(x

))

x®0

Пример 2. Часто студенты считают, что при

n ® ¥

ön2

ç1

~ e

n ø

Докажем по определению, что это не так.

Действительно,

ön2

ç1

lnç

n ø

lnç1+

-n

I = lim

= lim

= lim e

x®¥

Вычислим отдельно предел показателя степени, используя формулу Маклорена

ln(1+ t) = t -	t2	+ o(t2 )	с t =	1	® 0 при n ® ¥ :
				n
2

	æ	2	æ	+	1 ö
lim	ç n		lnç1			÷

n®¥è			è		n ø

æ 1

- n÷

= lim

ç n

+ o

- n÷

è n

n®¥è

è n

øø

æ 1

ö ö

oç

÷ ÷

1 .

= lim

è n

= -

n®¥ç

-1

Используя непрерывность показательной функции, можем записать: I = e 2 . Полученный предел отличен от 1, это и означает, что предполагаемая эквивалентность неверна.

- 104 -

II Приближённые вычисления

Как уже отмечалось, остаточный член формулы Тейлора – это погрешность

приближённого равенства

f (x) » P(x), где P(x) –

многочлен Тейлора для

функции

f (x) .

С оценкой этой погрешности | Rn (x) |£ M ×

n+1

(см. §3)

(n +1)!

связаны следующие задачи.

А)

Какова погрешность приближённой формулы

sin x » x -

если x

изменяется в промежутке [-p / 4;p / 4]?

В силу пункта II, §4,

для п=3 имеем

æp ö

| R4 (x) |£

= 0,00249.

4 ø

Искомая погрешность не превосходит 0,0025.

В) Какой многочлен Тейлора для функции cosx обеспечит в промежутке [-1,1] погрешность e £ 0,0001?

В силу пункта III, §4, имеем

| R

(x) |£

2n+2

2n+1

(2n + 2)!

Учитывая,

что | x |£ 1,

для

нахождения порядка

многочлена

получаем

неравенство

, т.е.

(2n + 2)!> 104 .

(2n + 2)!

10000

Подбором получим: 7!= 5040 < 104 , 8!= 40320 > 104.

Итак, п=3 и искомый многочлен имеет вид:

P(x) = 1-

С)

каком

промежутке

изменения

приближённая

формула

sinx @ x -

обеспечит погрешность e £ 0,001?

Как

в задаче

А) имеем

неравенство

| Rn (x) |£

£ 0,001 или

x £ 5 0,12 = 0,65.

Итак, искомый промежуток изменения х – это [-0,65;0,65].

- 105 -

нарной, ибо

IIІ Исследование функций
Теорема (третье достаточное условие экстремума и точки перегиба). Пусть
функция	f (x) имеет в точке x		производные до п-го порядка включительно,
		0
причём	f '(x ) = f ''(x ) =...= f (n-1) (x ) = 0,			f (n) (x ) ¹ 0. Тогда:
	0	0	0	0
1) если n – чётное число, то			x0 – точка экстремума (точка минимума при

f (n) (x ) > 0

и точка максимума при

f (n) (x ) < 0

);

2) если

n – нечётное число, то для графика функции точка M0 (x0 , f (x0 ))

является точкой перегиба.

Доказательство.

Из

условий

теоремы

следует,

что

f (x) = f (x ) +

f (n) (x )

(x - x )n +o((x - x )n ), x ® x .

Эту

формулу

легко

преобразовать

виду

Df =

f (n) (x )

(Dx)n +o((Dx)n ), Dx ®0;

æ f

(n) (x )

o((Dx)n )ö

Df = (Dx)

nç

(Dx)

÷, Dx ® 0.

Второе слагаемое в скобках (по смыслу символа o(×)) стремится к нулю при Dx ®0, а первое – это некоторое число, отличное от нуля. Поэтому для малых

значений Dx знак скобки совпадает со знаком		f (n) (x0 ).
	Если число n – чётное, то (Dx)n > 0 и знак Dx не влияет на знак Df , т.е.
x	– точка экстремума. При этом, если f (n)	(x0 ) > 0,	то и Df > 0, значит			x	–
0						0
точка минимума, а если f (n) (x0 ) < 0, то и Df		< 0 и x	– точка максимума.
	Если число n – нечётное, то знак Df	0
	Если число n – нечётное, то знак Df	зависит от знака Dx . Кроме того, в
силу условия f '(x0 ) = 0, касательная к графику функции в точке M				0	(x , f (x ))
				0	0	0

– горизонтальная. Следовательно, график слева и справа от этой точки находится по разные сторон от касательной, т.е. в этой точке график имеет перегиб.

Пример 3. Для функции f (x) = chx +cosx точка x = 0 является стацио-

f '(0) = sh0-sin0 = 0.

f ''(x) = chx -cosx,	f ''(0) = 0;
f '''(x) = sh x +sinx,	f '''(0) = 0;
f (4) (x) = ch x + cosx,	f (4) (0) = 2.

Так как первая, не обратившаяся в ноль производная, чётного порядка, то ноль – точка экстремума, а именно точка минимума, ибо f (4) (0) > 0 .

- 106 -

R2 (плоскость) и

Тема Функции нескольких переменных

Лекция 17

§1. Евклидово пространство: точки, множества, сходимость

I Точки, множества

Определение 1. Назовем m-мерной точкой упорядоченный набор из m произвольных вещественных чисел х1, х2, … хm. Обозначения : М(х1, х2, … хm)

или M (xk ). Множество всех мыслимых m-мерных точек называют m-мерным

эвклидовым пространством, если расстояние между точками М(хk) и N(уk) определяется по формуле

d(M , N) = å(xk - yk )2 . (1)

k =1

Обозначения : Rm или Em. Числа хk, k = 1,2…m, называют координатами точки М(хk), а точку О(0,0,…0) – началом координат.

Частными случаями евклидова пространства являются

R3 (обычное пространство). Формула (1) является естественным обобщением известных формул для расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве.

Для классификации точек и множеств в Rm важную роль играет понятие окрестности.

Определение 2. ε-окрестностью точки М0 называют множество точек вида O(e, M0 ) = {M Î Rm : d(M0 , M ) < e }. В R1 – это интервал (x0 – ε, x0 + ε), в R2 – внутренность круга, с центром в М0 и радиусом ε, а в R3 – внутренность сферы с центром в М0, и радиусом ε.

Определение 3. Точка М0 называется внутренней точкой множества G Ì Rm, если существует ε такое, что О(ε,М0) Ì G. Точка М0 называется граничной точкой множества G, если всякая ее ε-окрестность содержит как точки, принадлежащие G, так и точки не принадлежащие G.

Определение 4. Множество точек называется открытым, если все его точки внутренние. Множество точек называют замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Примером открытого множества может служить ε-окрестность. Замкнутым множеством в R2 есть, например, прямоугольник {(х,у) : 0 ≤ х ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}. Все пространство Rm и пустое множество ø являются и открытыми и замкнутыми одновременно.

Определение 5. Множество точек называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной линией, которая состоит из точек данного множества.

- 107 -

Мn (1 n,cos(1 n))

Например, в R2 круг – это связное множество, а множество, состоящее из двух непересекающихся кругов, не является связным.

Определение 6. Открытое связное множество называется открытой областью или, короче говоря, областью. Объединение открытой области со всеми ее граничными точками называется замкнутой областью.

Можно доказать, что замкнутая область есть замкнутое множество. Определение 7. Множество точек G Ì Rm называется ограниченным, если

целиком содержится в некотором m-мерном “шаре”:

G Ì {M: d(О, M) ≤ R}.

Ограниченными являются m-мерный “параллелипипед” (замкнутый):

{M(xk): ak ≤ xk ≤bk , k = 1,2,…m}

и m-мерный “симплекс”(открытый):

{M(xk): x1 + x2 +…+ xm< a, xk > 0,k = 1,2…m}.

Отметим для будущего, что ограниченная замкнутая область для функции нескольких переменных является аналогом замкнутого промежутка для функции одной переменной.

II Сходимость

Рассмотрим в Rm последовательность точек

{Mn(x1n, x2n,…, xmn)}, n = 1,2 … .

Определение 8. Говорят, что последовательность{Mn} сходится к точке

М0(а1, а2,… аm) и пишут		lim Mn = M0, если lim d(Mn , M0 ) = 0.
		n®¥	n®¥
	Из формулы (1), определяющей расстояние между точками в Rm, нетрудно
получить такое утверждение:
	cходимость {Mn}	к M0	равносильна сходимости последовательностей
{x n}	к а , k = 1,2,…m.		Другими словами, сходимость точек в Rm
k	k

покоординатная.

Например, последовательность двумерных точек сходится к точке М0(0,1).

§2. Определение функции нескольких переменных

Определение 1. Если каждой m-мерной точке М(х1, х2, … хm) из

некоторого множества D Ì Rm поставлено в соответствие по некоторому правилу

одно определенное число u, то говорят, что на D задана функция n переменных и пишут: u = F(x1, x2,… xn) или u = u(M).

Примером такой функции может служить среднее арифметическое координат точки:

1 m

u = m åk =1 xk .

- 108 -

Можно дать и другое, более прозрачное, определение функции, например, двух переменных.

Определение 2. Пусть x, y, z – переменные величины. Если каждой паре возможных значений независимых переменных х и у поставлено в соответствие по некоторому правилу одно определенное значение переменной z, то говорят, что z – есть функция х и у, и пишут: z = f(x, y), или z = z(x, y), или z = z (M), где

М(х, у).

Основной способ задания ФНП – аналитический в явной или неявной

форме:

z = x2 + y2 , x2 + y2 + z2 = R2.

		Если функция	f(M) задана на множестве D Ì Rm, то это множество
называют областью			определения функции. Например, для функции
z = ln(4 - x2 ) + 4 - y2 имеем:
D	z	= {( x, y) : 4 - x 2	> 0;4 - y 2	³ 0} = {( x, y) : -2 < x < 2,-2 £ y £ 2} ,

а для функции z = 4 - (x2 + y2 )				–

Dz = {( x, y) : x 2 + y £ 4} = {( x, y) : -2 < x < 2,- 4 - x 2 £ y £ 4 - x 2 }.

График функции двух переменных z = z(x,y) – это поверхность в

пространстве R3 : s = {(x, y, z): (x, y)Î Dz , z = (x, y)}.

§3. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность

Для простоты впредь будем рессматривать функции двух переменных. Определение 1. Число b называют пределом функции z = z(x,y) в точке

М0(х0,у0) и пишут

lim z(x, y) = b ,

x®x0 y® y0

если для любой последовательности точек {M n (xn , yn )}, сходящейся к точке

M0 (т.е xn→x0, yn→y0), имеем

lim z(xn , yn ) = b .

n®¥

Все свойства и теоремы о пределах функций одной переменной остаются справедливы и для ФНП. Правда, для ФНП нет понятия односторонних пределов.

Примеры.

1. Так как sinα ~ α, при α → 0, то

lim sin xy = lim xy = a (åñëè a ¹ ¥) .
x®0	x	x®0	x
y®a		y®a

- 109 -

2. Рассмотрим функцию z(x, y) =	xy	и последовательность точек

	x2 + y2

{Mn (1 n,a n)}, сходящаяся		к началу		координат O(0,0). Соответствующая
последовательность значений функции
z(Mn ) = z(1 n, a n) =	1/ n × a / n		=		a

	(1/ n)2 + (a / n)2			1+ a2

имеет предел, зависящий от последовательности {Mn}. Следовательно, предел функции в начале координат не существует.

Определение 2. Функция z(x,y) называется	непрерывной в точке
M 0 (x0 , y0 ), если
lim z(x, y) = z(x0 , y0 ).	(1)
x®x0
y® y0

Определение 3. Функция z (x,y) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке M ÎG .

Свойства ФНП, непрерывной в ограниченной замкнутой области, аналогичны свойствам функции одной переменной, непрерывной на замкнутом промежутке. Приведем некоторые из них.

1)Функция z(х,y), непрерывная в ограниченной замкнутой областиG Î R2 , ограничена в G , и достигает наибольшего и наименьшего значений.

2)Если z(х,y)¹ 0, то в некоторой окрестности точки M0 функция сохраняет

знак.

Замечание. Соотношению (1), определяющему непрерывность функции в точке, можно придать другую форму.

Будем называть полным приращением функции z(x,y) в точкеM 0 (x0 , y0 )

разность:

Dz = z(M ) - z(M 0 ) = z(x0 + Dx, y0 + Dy) - z(x0 , y0 ).

Если обозначить x = x0 + Dx, y = y0 + Dy, то нетрудно получить утверждение: непрерывность функции z(x,y) в точке M0 равносильна равенству

lim Dz = 0.

Dx®0 Dy®0

- 110 -

Лекция 18

§4. Частные производные

Пусть	функция z(x,y) определена в некоторой окрестности точки
M0 (x0 , y0 ).	Придадим переменной x приращение Dx , т.е.	перейдем от точки
M0 к точке M1(x0 + Dx, y0 ) . При этом Dx таково, что M1		лежит в указанной

окрестности точки M0 . Тогда соответствующее приращения функции

D y z = z(M1) - z(M0 ) = z(x0 + Dx, y0 ) - z(x0 , y0 )

называется частным приращением функции z(x,y) в точке M0 .

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y :

D y z = z(x0 , y0 + Dy) - z(x0 , y0 ).

Определение. Предел вида

lim

Dx z

называется частной производной

Dx®0

функции z(x,y)

в точке M 0 (x0 , y0 )

по переменной

x и обозначается одним из

символов:

¶z(x0 , y0 ) , z¢ (M

z¢

(x , y

) .

¶x

Аналогично определяется и частная производная по переменной y :

z¢

(x , y

) = lim

D y z

Dy®0

Из определения следует,

что

частная

производная функции

двух

переменных по

переменной

представляет

собой обычную производную

функции одной переменной f(x) = z(x,y0). Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной.

Примеры.
1. z = x2 sin y +y3 - x,	z¢ = 2xsin y -1, z¢		= x2 cos y + 3y2.
	x	y
2. z = xy , z¢ = yxy-1, z¢ = xy		ln x.
x	y
Замечание. График функции z = z(x,y) есть некоторая поверхность в
пространстве. Тогда
	ìz = z(x, y),
	L = í	–
	îy	= y0

это некоторая кривая (плоская) в пространстве и z¢x (x0 , y0 )есть не что иное, как угловой коэффициент касательной к L в точке ( x0, y0, z0 ).

- 111 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016159.74 Кб8М_указания_к_практике_2_курс.doc
#
03.03.2016256.98 Кб27МАВ.docx
#
03.03.201657.3 Кб120макет учебного плана.docx
#
03.03.2016274.94 Кб14Макро Курс лекций.doc
#
03.03.2016144.9 Кб5маркет - заочн.doc
#
03.03.20161.71 Mб25МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1.pdf
#
03.03.20163.71 Mб77материаловедение 10 вариант.docx
#
03.03.2016136.19 Кб3МВ ДІ курсовий проект 2012 семестр 1.doc
#
03.03.2016296.96 Кб33МВ ДИ практ.doc
#
03.03.2016480.26 Кб11МВ ДИ сам.doc
#
03.03.20166.04 Mб7МД_gorn.pdf