МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

Но сумма квадратов, стоящая в начале этой цепочки равенств, строго положительна (ибо не все xk одинаковые), следовательно, и

n

å xk2 - n(x)2 > 0.

k =1

Из этого неравенства легко получить требуемое нам:

Замечание. Полученное неравенство есть частный случай неравенства КошиБуняковского

(åakbk )2 £ åak 2 × åbk 2 ,

которое является обобщением неравенства для векторов: (a ×b)2 £ a 2 × b 2 .

т.е. D ¹ 0, следовательно система (2) имеет единственное решение, а функция (1) одну стационарную точку M0 (a0 ,b0 ). Чтобы исследовать эту точку, найдём значения вторых производных функции (1) в этой точке:

Определитель, составленный из этих чисел

минимум.

- 132 -

Итак, задача минимизации функции S(a,b) всегда имеет единственное решение.

Пример. Результаты измерений приведены в таблице:

Используя метод наименьших квадратов, определить “наилучшие” значения параметров линейной функции y = ax + b .

Решение. Вычислим коэффициенты системы нормальных уравнений (2):

ì56a +14b = 11, íî14a + 7b = 11.

Её решение: a = - 1128 , b = 1433. Линейная функция, которая “наилучшим”

образом описывает результаты измерений, имеет вид:

y = - 1128 x + 1433.

- 133 -

аргумент числа z = 0 считается неопределённым.

Условие равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме имеет вид: модули чисел равны, а аргументы отличаются на число кратное 2p .

Найдём произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

z1 × z2 = ρ1(cosj1 + i sinj1) × ρ2 (cosj2 + i sinj2 ) =

=ρ1 × ρ2 ((cosj1 ×cosj2 - sinj1 ×sinj2 ) + i (sinj1 ×cosj2 + cosj1 ×sinj2 ) =

=z1 × z2 (cos(j1 +j2 ) + i sin(j1 +j2 )).

Итак, при умножении чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.

Аналогичным образом можно установить, что при делении модули чисел делятся, а аргументы вычитаются.

Понимая возведение в степень как многократное умножение, можно получить формулу возведения комплексного числа в степень:

(z ×(cosj + i sinj))n = z n × (cosj + i sinj),"n ÎZ .

Выведем формулу для n z – корня n -ой степени из комплексного числа z (не путать с арифметическим корнем из действительного числа!). Операция извлечения корня является обратной по отношению к операции возведения в

степень. Поэтому n z – это комплексное число z такое, что z n = z .

Пусть z = z (cosj + i sinj) известно, а z = z (cosy + i siny ) требуется найти. Тогда

z n = z n (cosny + i sin ny ) = z (cosj + i sinj) .

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует, что

- 136 -

y = j + 2p k , k ÎZ . n

Нетрудно убедиться, что y может принимать лишь n различных по существу

Итак, корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. На комплексной плоскости эти значения располагаются в вершинах

правильно n -угольника, вписанного в окружность радиуса n z с центром в начале координат. “Первый” корень имеет аргумент jn, аргументы двух “соседних” корней отличаются на 2pn.

Пример. Извлечём корень кубический из мнимой единицы: z = i , z =1, arg z = p2. Тогда:

§3. Показательная форма комплексного числа

Вспомним второй замечательный предел

- 137 -

т.е. показательную функцию ex действительного аргумента можно определить как некоторый предел. Естественно попробовать определить показательную функцию мнимого аргумента таким же образом:

Сначала «разберёмся» со степенью, стоящей под знаком предела:

zn = z n (cos(n × arg z) + i sin(n × arg z)).

Найдём отдельно пределы модуля и аргумента числа zn :

Используя показательную форму, можно рассмотреть комплексно-значную функцию комплексного переменного:

- 138 -

w = ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y) = ex cos y + iex sin y .

Лекция 23

§4. Многочлены

I Общие результаты

Определение 1. Многочленом n -ой степени называют функцию вида

Pn (x) = a0 xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an ,

где x – переменная (вообще говоря, комплексная), a0 , a1,..., an – некоторые постоянные числа (вообще говоря, комплексные), причём a0 ¹ 0.

Известно, что многочлены можно делить «столбиком» и справедлива теорема.

Теорема 1. Каковы бы ни были многочлены Pn (x) и Tm (x), m £ n, найдутся многочлены Qn-m (x) и Rk (x) , причем k < m, такие, что имеет место равенство:

Pn (x) = Tm (x) × Qn-m (x) + Rk (x) .

По отношению к четырём многочленам из этой теоремы применяют обычные термины: делимое, делитель, частное, остаток.

Говорят, что Pn (x) делится на Tm (x), если остаток Rk (x) = 0.

Многочленом нулевой степени естественно называть любое постоянное число (вещественное или комплексное).

Определение 2. Число x0 называют корнем многочлена Pn (x), если

Pn (x0 ) = 0.

Теорема 2 (Безу). Остаток от деления Pn (x) на бином (x - a) есть значение многочлена в точке a .

Действительно, т.к. делитель (x - a) имеет первую степень, то остаток должен быть нулевой степени:

Pn (x) = (x - a) ×Qn-1(x) + R0

Тогда Pn (0) = 0 + R0 , что и требовалось доказать.

Из этой теоремы вытекает важное следствие (которое часто называют теоремой Безу).

- 139 -

Pn (z) = a0 (z)n + a1(z)n-1 +...+ an = a0 zn + a1 zn-1 +...+ an = = (a0 zn ) + (a1zn-1) +...+ an = (a0 zn + a1zn-1 +...+ an ) = 0 = 0.

Итак, справедлива теорема.

Теорема 4. Если комплексное число z = a + b ×i является корнем многочлена

с действительными коэффициентами, то и сопряжённое ему число z = a - b ×i является корнем этого многочлена (причём, с той же кратностью).

Из этой теоремы можно получить ряд следствий.

1.У многочлена с действительными коэффициентами число комплексных корней – чётно.

2.Многочлен нечётной степени (с действительными коэффициентами) имеет, по крайней мере, один действительный корень.

3.В разложении (2) перемножим скобки, соответствующие комплексным сопряжённым корням:

(x - z)k (x - z)k = ((x - a - bi)(x - a + bi))k = x2 + p x + q ,

где p = -2a, q = a2 + b2 . Таким образом, получим основной результат:

всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в

Линейные множители соответствуют действительным корням, квадратичные – парам комплексных сопряжённых.

Список рекомендованной литературы

1.Ильин В.А., Позняк Э.К. Основы математического анализа, ч. I. – М.: «Наука», 1982. – с. 616.

2.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: «Наука», 1966. – с. 544.

3.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты).

–М.: «Высш. школа», 1983. – с. 175.

4.Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Пределы, непрерывность, производная» (для

студентов направления подготовки 6.050102 «Программная инженерия»)/ Составитель: Скворцов А.Е.– Донецк: ДонНТУ, 2008. – с. 48

- 141 -