Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.71 Mб
Скачать

6) Обратные тригонометрические

При определении этих функций выбираются следующие участки монотонности: для синуса - [- 0,5p; 0,5p ], для косинуса - [0, p], для тангенса -(- 0,5p; 0,5p ), для котангенса - (0, p).

Определение, например, арксинуса:

arcsin a – это угол a Î [- 0,5p; 0,5p ] такой, что sin a =a. Остальные

функции определяются аналогично.

а) y = arcsin x .

D(y) = [-1, 1], E(y) = [- 0,5p; 0,5p ].

Нечетная.

б) y = arccos x .

D(y) = [-1, 1], E(y) = [0, p]. arccos(-x) = p - arccos x .

arcsin x + arccos x = p2 .

в) y = arctg x .

D(y) = R, E(y) = (- 0,5p; 0,5p ).

Нечетная.

Прямые y = ± p2 - асимптоты.

г) y = arcctg x .

D(y) = R, E(y) = (0, p). arcctg(-x) = p - arcctg x .

Прямые y = 0 и y = p - асимптоты.

- 12 -

Замечание. Иногда к основным элементарным функциям относят еще и т.н. гиперболические функции и обратные к ним. Все эти функции достаточно просто выражаются через показательную и логарифмическую функции.

а) синус гиперболический y = sh x = 12 (ex - e- x ) : D(y) = R, E(y) = R,

нечетная; обратная функция имеет вид y = Arsh x = ln(x + x2 +1).

б) косинус гиперболический y = ch x =

1

(ex + e-x ) :

D(y) = R, E(y) =

2

 

 

 

[1, +¥), четная; обратная функция имеет вид y = Arch x

= ln(x + x2 -1),

x ³ 1 (у функции ch x берется ветвь x ³ 0).

в) тангенс и котангенс гиперболические определяются так же как и в тригонометрии:

th x = chsh xx , cth x = chsh xx .

Обратная функция для

гиперболических функций:

y = th x – это y = Arth x = 12 ln11+- xx . Графики

II Элементарные функции

Определение. Элементарной называют функцию, которая может быть задана явно одной формулой, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций, примененных к основным элементарным функциям.

Следует отметить, что некоторые функции, заданные несколькими формулами (т.е., вообще говоря, неэлементарные) иногда удается записать одной формулой. Примером служит функция y = |x|. По определению

- 13 -

ì x, если x ³ 0, | x |= í

î- x, если x < 0.

В то же время имеем: | x |= x2 . Таким образом, функция y = |x| - элементарная. Ее график:

III Примеры неэлементарных функций

ì 1,åñëè x > 0,

y = sign x = ï 0, åñëè x = 0,

1) í

ïî-1, åñëè x < 0,

(читается «у равно сигнум х»).

2) y = [x], где [x] - целая часть числа x (читается «y равно антье x»).

Эта функция неэлементарная, ибо задается не формулой, а словесно:

[x] - наибольшее целое, не превосходящее x.

Отметим одно свойство: [x] £ x < [x]+1.

3)y = {x}, где {x}-дробная часть числа x,

т.е. {x} = x - [x].

Лекция 2

§3. Последовательности: основные понятия, примеры

I Определение

Пусть каждому натуральному числу n по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число xn: 1 ® x1, 2 ® x2, …, n ® xn, … Бесконечная совокупность этил чисел x1, x2, …, xn, … называется числовой последовательностью, сами числа называются членами последовательности, xn -

- 14 -

общий член последовательности. Краткая запись: {xn} - «последовательность с общим членом xn».

Другими словами, последовательность – это функция натурального аргумента f(n).

Последовательность можно задавать:

1)аналитически, например, xn = n2 - 3n ;

2)словесно, например, 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел; 3)рекуррентным способом, например, x1 =1, x2 = 2, xn+2 = xn + xn+1 . При

этом способе задают первый или несколько первых членов и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

II Элементы поведения и операции

Как и для произвольной функции, для последовательности можно ввести понятия монотонности и ограниченности.

1) Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей),

если xn < xn+1 (xn £ xn+1)

для любого

n. Если же для любого n

имеем

неравенство xn > xn+1 (xn ³ xn+1),

то

последовательность

называется

убывающей (невозрастающей).

 

 

 

 

 

2) Последовательность

{xn}

называют

ограниченной

сверху,

если

$M : xn £ M "n Î N , и ограниченной снизу,

если $M : xn ³ M "n Î N .

Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Можно дать и другое определение ограниченности: $M > 0 : xn £ M "n Î N .

Члены последовательности удобно изображать точками на числовой оси. Тогда ограниченность означает, что все члены последовательности принадлежат

некоторому отрезку [m, M ], а возрастание означает, что каждый последующий

член последовательности расположен правее предшествующего.

Над последовательностями можно осуществлять арифметические операции. Например, сумма последовательностей {xn} и {yn} - это последовательность {zn} такая, что zn = xn + yn . Аналогично определяют разность, произведение и частное. Полезно уметь представлять данную последовательность как сумму или

ìsin n ü

произведение двух других последовательностей. Например, í ý есть

î n þ

произведение {1n}и {sin n}.

III Примеры

1){(-1)2n ×C}: C,C,C,... - стационарная последовательность.

2){(-1)n+1}:1,-1,1,-1,... - ограниченная, немонотонная.

-15 -

{an }
an Î(- e,e ).

 

ì

1

+ (-1)

n

 

ü

 

 

3)

í

 

× ný

: 0,1,0,2,0,3,0,... - ограниченная снизу, немонотонная.

 

2

 

 

 

î

 

 

 

 

 

þ

 

 

4)

ìn -1ü

: 0,

1

,

2

,... - ограниченная, возрастающая.

í

 

ý

2

3

 

î

 

n þ

 

 

 

 

 

5)

x1 = 1, xn+1 = (n +1)xn - это последовательность с общим членом

xn =1× 2×...× n = n!

§4. Бесконечно малые последовательности и их свойства

I Два определения

Определение 1 (язык «e-N»). Последовательность {an } называют бесконечно малой (б.м.), если для любого (сколь угодно малого) положительного числа e найдется номер N=N(e) (зависящий, вообще говоря, от e) начиная с которого выполняется неравенство an < e .

Используя квантор всеобщности " и квантор существования $, это определение можно записать следующим образом:

"e > 0 $N = N (e ), "n ³ N (e ) : an < e .

Для дальнейшего нам понадобится одно важное понятие. Вот его определение:

интервал вида (x0 - e, x0 + e ) называется e-окрестностью точки x0. Неравенство an < e , фигурирующее в определении 1, равносильно

двойному неравенству - e < an < e , что означает следующее: Теперь можем дать второе определение (равносильное первому).

Определение 2 (язык «окрестностей»). Последовательность называется б.м., если любая (сколь угодно малая) e-окрестность нуля содержит все члены последовательности, начиная с некоторого номера N(e) (зависящего,

вообще говоря, от e).

Из определения 2 можно сделать вывод: вне любой (сколь угодно малой) e-окрестности нуля содержится лишь конечное число членов б.м.

последовательности.

 

 

 

 

Для

б.м. последовательности {an } принято

обозначение an = o(1)

(читается «о малое от 1»), иногда уточняют, добавляя: n®¥.

II Две эталонные б.м.

 

 

 

 

 

1

ì1

ü ì

1 ü

-2

 

1)

 

= o(1) при a > 0. Примеры: í

ý,í

ý,{n

 

.

na

 

 

înþ î

n þ

 

 

- 16 -

2)

qn = o(1) при

 

q

 

< 1. Примеры: {0,5n },íì

1

ýü,{e-n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î 3n

þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство первого утверждения

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем и зафиксируем число e > 0 . Надо найти номер N (e ) ,

начиная с

которого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

< e Û

1

< e Û na > e -1 Û n > e -

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

na

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é -

1

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N (e )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

качестве

номера

можно взять

 

N (e ) = êe

a

ú +1,

ибо если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

û

 

 

 

 

 

 

 

é -

1

ù

 

-

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ³ N (e ) т.е.

n ³ êe

a ú

+1 > e

 

e

и получаем

 

< e .

Так.

как такой номер

 

na

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно

найти

"e > 0,

то тем

самым доказана

бесконечная

малость

ì 1 ü

последовательности íîna ýþ.

Второе утверждение доказывается аналогично, только для решения показательного неравенства используются логарифмы.

III Основные свойства

Эти свойства нужны для того, чтобы доказывать бесконечную малость последовательности, не применяя определения (1 или 2).

1)Пусть an = o(1) Тогда: а) {an} – ограничена;

б) an = o(1);

в) -an = o(1);

г) C ×an = o(1), C = const ;

д) если bn £ an или 0 £ bn £ an , то bn = o(1) .

2)Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая.

3)Сумма, разность и произведение б.м. есть б.м.

Для доказательства 1а) возьмем конкретное e, например, e = 1. Тогда $N(1),"n ³ N(1) :an Î(-1,1). Вне интервала (-1,1) могут находиться лишь

конечное число членов, т.е. a1,a2,...,aN (1)-1. Т.к. в конечном множестве чисел есть наибольшее и наименьшее, то все члены {an } находятся между

- 17 -

m = min{a1,a2 ,...,aN (1)-1,-1

и

M = max{a1,a2 ,...,aN (1)-1,1 , т.е. {an} -

ограничена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an = o(1),

 

 

 

{xn } -

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем

свойство 2. Пусть

а

 

 

 

ограничена, т.е.

$M > 0,"n :

 

xn

 

£ M . Для доказательства того,

что an × xx = o(1) необходимо

 

 

взять произвольное e > 0 и найти номер, начиная с которого

 

an × xn

 

 

< e . Итак,

 

 

пусть e > 0 - произвольное, рассмотрим число e1 =

e

> 0.

 

Т.к. an = o(1), то

M

 

для этого e1

 

$N1,"n ³ N1 :

 

an

 

 

< e1. Тогда имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an × xn

 

=

 

an

 

×

 

xn

 

< e1 × M =

e

 

× M = e "n ³ N1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е., начиная с N1 имеем

 

an × xn

 

 

< e , следовательно an × xn = o(1).

 

 

 

 

 

 

 

Примеры использования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

= o(1), т.к. 0 <

 

 

 

 

1

 

<

 

1

 

 

ì

1

 

ü

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, а í

 

 

ý - эталонная б.м.

n3 +13

n3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+13 n3

 

în3

þ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

sin n

 

= o(1), т.к. sin n = 1

×sin n

и

1

= o(1) , а {sin n } - ограниченая.

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

Т.к.

 

n2 -13 > n2 > 0

 

 

для

 

n ³ 6

,

то

 

 

1

 

<

2

= 2×

1

= o(1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 -13

n2

n2

Следовательно 2 1 = o(1).

n -13

Замечание. Частное двух б.м. может быть каким угодно. Задачи (для самостоятельного решения).

1. Пусть an × bn = o(1). Следует ли отсюда, что an = o(1) или bn = o(1) ?

2. Может ли среди членов б.м. последовательности быть бесконечно много одинаковых членов? Если да, то каких?

Лекция 3

§5 Предел последовательности

I Три определения

Определение 1. Число a называют пределом последовательности {xn } и

пишут a = lim xn , если последовательность {xn - a} есть бесконечно малая. n®¥

Используя определение 1 предыдущего параграфа, можно дать еще и такое определение предела.

Определение 2 (язык «e - N »). Число a называют пределом последовательности {xn }, если

- 18 -

"e > 0

$N = N (e ),"n ³ N (e ) :

 

xn - a

 

< e .

 

 

Последнее

неравенство с модулем равносильно двойному неравенству

- e < xn - a < e

или a - e < xn < a + e . Другими словами, xn Î(a - e,a + e ) .

Получаем еще одно определение предела.

Определение 3 (язык «окрестностей»). Число a называют пределом

последовательности {xn}, если любая (сколь угодно малая) e -окрестность числа

a содержит все члены последовательности, начиная с некоторого номера, другими словами, вне такой окрестности содержится лишь конечное число членов

последовательности {xn}.

 

 

Замечания.

 

, если an = o(1).

1. Из определений следует, что limC = C и

lim an = 0

n®¥

n®¥

 

2. Если для последовательности {xn} существует предел (в указанном выше

смысле), то она называется сходящейся. В противном случае последовательность называется расходящейся. Примерами расходящихся последовательностей могут

служить: xn = (-1)n , yn = n2 .

3. Определению 1 можно придать другую форму, более удобную в некоторых случаях:

lim xn = a Û xn = a + an , где an = o(1) при n ® ¥ . n®¥

Такая форма позволяет найти предел такой, например, последовательности:

xn =

n3

+14

= 1+

1

 

= 1+ o(1) Þ lim xn = 1.

n3 +13

n3 +13

 

 

n®¥

4. lim xn (если существует) не зависит от любого конечного числа членов n®¥

последовательности {xn}.

II Свойства сходящихся последовательностей и их пределов

1. Если последовательность сходится, то она ограничена (это свойство доказывается также, как аналогичное свойство б.м.)

2. Пусть lim xn = a . Тогда: n®¥

а) lim xn+k = a "k Î Z ;

n®¥

б) lim (xn+1 - xn ) = 0;

n®¥

в) lim xn = a .

n®¥

- 19 -

 

ì

x

2n

= a,

 

ï lim

 

 

3. lim xn = a Û í n®¥

 

 

 

n®¥

ïlim x2n+1 = a.

 

în®¥

 

 

 

4. Если lim xn = a > 0, то все члены последовательности {xn}, начиная с n®¥

некоторого номера, также положительны, и, более того, эти члены отграничены

от нуля: xn ³ a

> 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положить e = 0,5a .

Для

доказательства

достаточно в

определении

3

Очевидно, что подобное свойство справедливо и для a < 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

ì 1

 

ü

 

 

 

 

 

5. Если lim xn = a ¹ 0 и xn ¹ 0, то í

 

 

ý

- ограничена.

 

 

 

 

 

n®¥

 

 

 

î xn þ

 

 

 

 

 

III

Примеры вычисления пределов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

lim (

n +1 -

n) = lim

( n +1 -

 

n)(

n +1 +

n) =

 

n®¥

 

 

n®¥

 

n +1 + n

 

 

 

= lim

1

 

= 0, ибо 0 <

1

 

 

<

1

ì

1

ü

- эталонная б.м.

n +1 +

n

n +1 +

 

n

n

, а í

 

ý

n®0

 

 

 

 

 

î

n þ

 

2. xn = 1+ q + ... + qn-1 - это сумма n первых членов геометрической

прогрессии {qn-1 . Из элементарной математики известна формула для этой суммы

 

 

 

 

xn

=

1- qn

=

 

 

1

-

 

 

1

qn .

 

 

 

1- q

1

- q

1

- q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

q

 

< 1, то qn = o(1)

и

 

 

1

qn = o(1).

Значит lim xn =

1

. Если

 

 

 

 

 

 

1

- q

1- q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n®¥

 

q = -1, то {xn } имеет вид: 1, 0, 1, 0, … и предела не имеет. Остальные случаи q рассмотрим позже.

Задача (для самостоятельного решения). Пусть lim an = a . Найти (если n®¥

существуют) пределы следующих последовательностей: а) {max(an ,an+1)};

б){[an ]}; в) {sign an}; г) {(an+1 - an )n .

- 20 -

M -окрестности нуля
{bn }

§6. Бесконечно большие последовательности и их свойства

I Два определения

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 1

(язык

« M - N »).

Последовательность

{bn }

называют

бесконечно большой (б.б.) и пишут lim bn = ¥ , если

 

 

 

 

 

 

 

 

n®¥

 

 

 

 

 

 

 

"M > 0

$N = N (M ), "n ³ N (M ) :

 

bn

 

> M .

 

 

 

 

 

 

Иными

словами

 

bn

 

 

становится

и остается больше

любого

наперед

 

 

заданного сколь угодно большого числа.

Раскрывая неравенство с модулем, получим геометрическую иллюстрацию этого понятия.

Определение 2 (язык «окрестностей»). Последовательность называется б.б., если вне любой (сколь угодно большой)

содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера N (M ) (зависящего от M ). Другими словами, внутри такой окрестности содержится лишь конечное число членов {bn }.

Замечание. Если члены б.б. последовательности {bn } положительны

(отрицательны), то можно писать lim xn = +¥

( lim xn = ) .

n®¥

n®¥

О таких б.б. говорят, что они определенного знака.

II Две эталонных б.б.

1.{na }, a > 0 - бесконечно большая. Примеры: {n2 }, { n}, {n23}.

2.{qn }, | q |> 1 - бесконечно большая. Примеры: {2n }{, p n }, {(32)n .

Между б.б. и б.м. последовательностями существует естественная связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы последовательность {xn } была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {1xn} была бесконечно малой.

Докажем, например, необходимость. Пусть {xn} - б.б. Возьмем

произвольное e > 0 и положим

M =

1

. Существует номер N (M ) , начиная с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

которого

 

xn

 

> M . Тогда

 

 

1

 

 

=

1

 

<

1

 

= e . Итак,

1

 

< e . Это означает, что

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

xn

M

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{1xn}= o(1).

- 21 -