МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

симума, ни минимума, ибо z(0,0) = 0, а в любой окрестности этой точки функ-

ция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Чтобы сформулировать достаточное условие экстремума функции двух пе-

если a11 < 0.

Рассмотрим теперь случай функции n переменных z = z(x1, x2 ,..., xn ). Пусть точка M0 (xi ) – стационарная точка, т.е z¢xi (M 0 ) = 0 "i. Предположим,

что в некоторой окрестности этой точки существуют непрерывные частные производные второго порядка. Обозначим

aij = z¢x¢i x j (M0 ), i, j = 1,2,…,n.

Из этих чисел составим матрицу A = (aij ). Определители, составленные из эле-

- 122 -

Имеем две стационарные точки M1(0,0) и M2 (1,1). Чтобы исследовать эти точки, вычисляем производные второго порядка:

Имеем две стационарные точки: M1(0,0,1) и M2 (24,-144,1). Далее:

Все главные миноры положительные, значит M2 (24,-144,1) – точка минимума. В точке M1(0,0,1) матрица вторых проиводных имеет вид

- 123 -

точки M1 принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, в этой точке нет экстремума.

§12. Наибольшее и наименьшее значения функции в области

Известно, что, если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения. Если, кроме того, функция имеет внутри области частные производные то эти

значения она достигает либо внутри облати в стационарных точках, либо на границе области.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = xy - x в

2) Рассмотрим функцию на границе области.

- 124 -

2.1) z(x, y) |y =0 = -x = f1(x), -1 £ x £ 2. Это линейная функция, свои наибольшее и наименьшее значение достигает на концах промежутка: x = -1 и x = 2. Имеем еще две точки подлежащие исследованию: M2 (-1,0) и M3(2,0).

ременной достигает наибольшего и наименьшего значения либо внутри проме-

ки: M6 (-1,3) º M5 , M7 (1,3) и M8 (2,0) º M3 .

3) Вычисляем значения функции в найденных “подозрительных” точках и выбираем из полученного ряда чисел наибольшее и наименьшее:

z(M1) = z(0,1) = 0, z(M2 ) = z(-1,0) = 1, z(M3 ) = z(2,0) = -2, z(M5 ) = z(-1,3) = -2, z(M7 ) = z(1,3) = 2,

max z(x, y) = z(1,3) = 2,

D

min z(x, y) = z(2,0) = z(-1,3) = -2.

D

Лекция 21

§13. Производная по направлению. Градиент

I Производная по направлению

В одномерном случае производная функции f (x) характеризует скорость изменения функции в данной точке в направлении оси Ox . В двумерном случае частные производные функции z(x, y) характеризуют то же самое в направлении координатных осей.

координат. Ось удобно задавать её ортом: e = {cosa,cos b}. Будем считать, что

- 125 -

M0 (x0 , y0 ) непрерывные частные производные первого порядка и пусть ось l

То есть, координаты текущей точки M (x, y) есть функции параметра t . Тогда:

z(M ) = z(x, y) = z(x0 + t cosa, y0 + t cos b ) = F(t), z(M0 ) = F(0)

и из (1) имеем:

сложной функции F(t) существует, ибо z(x, y) имеет непрерывные производные, а её аргументы x = x0 + t cosa и y = y0 + t cos b – дифференцируемы, при этом:

F¢(t) = z¢x (x, y) × xt¢ + z¢y (x, y) × yt¢ = z¢x cosa + z¢y cos b .

Рассмотрим последнее равенство при t = 0 и получим

- 126 -

Это уравнение определяет неявную функцию y = y(x)

вид: y¢x = - z¢x z¢y . Уравнение нормали к графику y = y(x) в точке M0 (x0 , y0 ):

Это и означает, что градиент функции направлен по нормали к линии уровня этой функции.

Пример. Для функции z =1- (0.5x2 + y2 ) линии уровня : z = C – это семейство эллипсов

Отсюда угловой коэффициент касательной к эллипсу (в произвольной точке):

y¢ = - 2xy = k1 .

Для параболы тот же коэффициент имеет вид:

k2 = (Cx2 )¢ = 2Cx .

Пусть (x0 , y0 ) – точка пересечения какого-либо эллипса с некоторой параболой.

Тогда y0 = Cx02 и произведение угловых коэффициентов касательных в этой точке:

- 129 -

Итак, для определения стационарной точки функции S(a,b) имеем т. н. систему нормальных уравнений:

II Одно полезное неравенство

Чтобы исследовать систему (2), а затем и стационарную точку, докажем одно неравенство.

- 131 -