Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

	æ	x ö¢			4 - x2
Решение. 1) Находим производную:	f '(x) = ç		÷	=			.
					(x2	+ 4)2
	è x2	+ 4 ø

2) Находим критические точки. В данном случае – это только решения уравнения f '(x) = 0, т.к. производная существует всюду:

f '(x) = 0 Û 4 - x2

= 0 Û x

= 2, x

= -2Ï[-1,4].

Вычисляем значения функции:

f (2) =

= 0,25;

f (-1) =

-1 = -0,2;

22 + 4

f (4) =

= 0,2.

max f (x) = f (2) = 0,25; min f (x) = f (-1) = -0,2.

-1£ x£4

-1£x£4

Замечание. В случае исследования функции y = f (x) , непрерывной на

открытом промежутке

(a,b), вместо значений

f (a)

и f (b)

вычисляют

односторонние пределы

f (a + 0),

f (b - 0) .

Рассмотрим два примера, в которых приходится находить наименьшее или наибольшее значения некоторых функций. Впрочем, чаще всего интерес представляют не столько сами эти значения, а те значения аргумента, которые доставляют их функции.

Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной a , вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную открытую сверху коробку. Как получить коробку наибольшего объёма?

Решение. Обозначим сторону вырезаемого квадрата через x . Тогда основание коробки – это квадрат со стороной a - 2× x и её объём

y = (a - 2x)2 × x , при этом x изменяется в промежутке [0;a / 2]. Вопрос свёлся

кнахождению наибольшего значения функции y на указанном промежутке:

1)y'= (a - 2x)(a - 6x);

2)y'= 0 Û x1 = a2 , x2 = a6 ;

æ a

y(0) = yç

= 0

yç

;

4) Наибольшая вместимость коробки получится, если сторона вырезаемого

квадрата составляет 6 часть стороны исходного.

Пример 3. Через фиксированную точку M внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади.

- 92 -

Решение.

Пусть B и C – точки пересечения искомой прямой со сторонами угла. Требуется минимизировать площадь DABC .

Проведём отрезки KM AC и NM AB . Их длины обозначим через a и b

соответственно (это			фиксированные числа, ибо точка				M фиксированная). В
качестве		аргумента	x минимизируемой		функции возьмём			длину	отрезка
KB = x .		Очевидно,	0 < x < +¥ . Из подобия DABC и					DKBM	имеем:
b + x	= AC Þ AC = a × b + x . Площадь треугольника вычисляем по формуле
x		a	x
SDABC	= 1	AB × AC ×sina = 1 (b + x) × a ×		b + x		×sina.

	2		2		x
Итак, минимизируемая функция имеет вид:					y = k × (b + x)2		, где k = a ×sina .
						x			2

1)	y'= k ×	(b + x)(b - x) .
		x2

2)y'= 0 Û x1 = b, x2 = -b Ï(0,+¥).

3)Так как при x ® 0 и x ® +¥ функция y ® ¥, то в единственной

критической точке (из области определения функции) имеем минимум.

4) Наименьшее значение площадь треугольника ABC принимает при x = b , т.е.

прямую BC надо проводить так,	чтобы отрезок	KM (и NM )		был средней
линией DABC . Другими словами,	прямую через точку		M надо проводить так,
чтобы отрезок, заключённый между сторонами		угла,	делился	в точке M
пополам.

- 93 -

Тема ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

Лекция 15

§1. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона

Напомним формулу для вычисления производных (любого порядка) степенной функции с натуральным показателем степени:

ìk × (k -1) ×...× (k - m +1)xk -m , m < k;
(xk )(m) = íï			k!, m = k;
ï			0, m > k.
î			0, m > k.
î
С помощью этой формулы установим связь между коэффициентами
многочлена пой степени
P(x) = a	0	+ a x + ...+ a		xn	(1)
	0	1	n
и производными самого многочлена в нуле. Запишем многочлен в виде
k -1				n
P(x) = åai xi + ak xk +			åa j x j .
i=0			j =k +1

Первое слагаемое правой части после k–кратного дифференцирования обратится в ноль, а второе – в ak k!. Для третьего слагаемого имеем:

æ	n	ö(k )
ç	åa j x	j ÷
ç	åa j x	÷
è j =k +1		ø

= å Aj x j -k . j =k +1

В этой сумме все показатели степени j - k > 0. Чтобы эта сумма обратилась в

ноль, достаточно положить x = 0. Итак, получим связь: P(k ) (0) = ak × k!

Отсюда вытекает формула, выражающая коэффициенты многочлена через производные самого многочлена:

a = P(k ) (0)		, k = 0,1,2,...,n.					(2)
k	k!
	k!
Теперь многочлен (1) можно записать в форме
		n		(k )	(0)
	P(x) = å		P		(0)	xk .
	P(x) = å					xk .
		k=0		k!
		k=0

Напомним, что производная нулевого порядка – это сама функция.

Иногда требуется многочлен (1) записать не по степеням x , а по степеням

двучлена (x - x0 ) : P(x) = åbk (x - x0 )k . Нетрудно убедиться, что в этом

k=0

- 94 -

случае коэффициенты вычисляются по формуле bk = P(k ) (x0 ) , а сам многочлен

можно записать в виде

P(x) = P(x0 ) + P¢(x0 ) ×(x - x0 ) + ...+ P(n) (x0 ) (x - x0 )n. 1! n!

Это и есть формула Тейлора для многочлена.

Из формулы (2) для коэффициентов многочлена (1) можно вывести два важных следствия.

Следствие 1. Рассмотрим два многочлена

P(x) = åak xk

Q(x) = åbk xk .

k =0

Если

P(x) º Q(x),

то

P(k ) (0) = Q(k ) (0),

откуда получим:

а) степени

многочленов равные

–

m = n ;

б) коэффициенты при одинаковых степенях

переменной равные – ak

= bk ,"k.

n - þ

Следствие

Рассмотрим многочлен,

представляющий собой

степень бинома

(a + x)

запишем его

в стандартной

форме

(1):

(a + x)n = åak xk

k =0

Коэффициенты вычислим по формуле (2):

ak =

(a + x)n )(k )

= n × (n -1) ×...× (n - k +1) (a + k)n-k

x=0

= n × (n -1) ×...× (n - k +1) an-k .

Итак, мы получили т.н. формулу бинома Ньютона:

(a + x)n = å n × (n -1) ×...× (n - k +1) an-k × xk .
n
k=0	k!
Числа n × (n -1) ×...× (n - k +1)	обозначают	Ck	и называют биномиальными
k!		n
k!

коэффициентами. Так как nÎ N , можно использовать компактную запись этих чисел:

Ck =	n!


n	k!(n - k)!

Это число возникают в задачах комбинаторики, где они называются «числом сочетаний из n по k » и дают ответ на вопрос: «Сколькими способами можно выбрать k предметов из n предметов, если не важен порядок выбора?»

- 95 -

Пример. Запишем многочлен P(x) = x3 + 2x2 - x + 5 по степеням (x -1).

В соответствии с формулой Тейлора имеем:

P(x) = P(1) + P'(1) (x -1) +

P''(1)

(x -1)2 + P'''(1) (x -1)3

Здесь: P(1) =13 + 2 ×12 -1+ 5 = 7;

P'(1) = (3x2 + 4x -1)

x=1 = 6;

P''(1) = (6x + 4)

x=1 =10;

P'''(1) = 6.

Итак, x3 + 2x2 - x + 5 = 7 + 6(x -1) + 5(x -1)2 + (x -1)3.

§2. Формула Тейлора для произвольной функции

I Определения

Рассмотрим функцию

f (x) ,

которая имеет в точке

x0 производные всех

порядков до п-го включительно.

Составим для этой

функции многочлен

P(x) = f (x0 ) +

f '(x0 )

(x - x0 ) +

f ''(x0 )

(x - x0 )2 +... +

f (n) (x0 )

(x - x0 )n

. (1)

Из результатов предыдущего параграфа следует, что коэффициент при (x - x0 )k ,

	f (k ) (x0 )			P(k ) (x0 )
т.е.		, должен равняться				.	Таким образом, многочлен (1)
	k!
				k!

удовлетворяет		соотношениям:
	P(k ) (x ) = f (k ) (x ), k = 0,1,..., n;						P(n+1) (x) º 0.
		0	0
Поскольку функция			f (x) не многочлен,		то		уже нельзя ожидать равенства

f (x) = P(x) . Однако, из-за совпадения производных естественно ожидать, что f (x) » P(x) . Поэтому особый интерес приобретает изучение разности

Rn (x) = f (x) - P(x).

Для производных этой функции справедливы соотношения:

R(k ) (x ) = 0, k = 1,2,...,n;	R(k +1)	(x) = f (k +1) (x).
n 0	n

Для последнего, очевидно, требуется, чтобы у функции f (x) производная (n +1) -го порядка.

Принята следующая терминология:

(2)

существовала

	n		(k )	(x0 )
1) многочлен (1):	P(x) = å	f			× (x - x0 )k	– многочлен Тейлора
			k!
порядка n для функции	k=0
	f (x);

- 96 -

		n		(k )	(x0 )
2)	формула	f (x) = å	f		(x0 )	×(x - x0 )k + Rn (x) – формула Тейлора
2)	формула	f (x) = å				×(x - x0 )k + Rn (x) – формула Тейлора
		k=0		k!
		k=0
порядка	n для функции f (x)			или разложение по формуле Тейлора функции
f (x);
3)	разность	Rn (x) = f (x) - P(x) – остаточный член формулы Тейлора.

Для разных целей имеются различные формы остаточного члена. Формулы Тейлора и различают по этим формам. Мы рассмотрим лишь 2 формы остаточного члена.

II Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 1. Пусть функция f (x) имеет в точке x0 производные до п-го
порядка включительно. Тогда для остаточного члена имеет место равенство
Rn (x) = o(x - x0 )n при x ® x0 .
Доказательство.	Прежде всего, заметим, что существование производных
f (k ) (x ), k = 1,2,...,n,	означает следующее: функция	f (x) имеет производные
0
до (n -1) -го порядка в некоторой окрестности точки		x0 , и имеет производную

п-го порядка в самой точке x0 .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

lim	Rn (x)	= 0.
lim	(x - x )n	= 0.
x®x0	(x - x )n
	0

В силу соотношений (2) к этому пределу можно ( n -1) раз применить правило Бернулли–Лопиталя:

lim

Rn (x)

0ù = lim

Rn '(x)

= é0ù

= ... = lim

Rn (n-1) (x)

x®x

(x - x0 )

ê ú

x®x

n(x - x0 )

n-1

ê ú

x®x

n!(x - x0 )

0û

ë0û

Учитывая все те же соотношения (2), последний предел можно записать как

(n-1) (x) - R (n-1) (x

)

lim

(x - x0 )

n!x®x0

Но

этот

предел

есть

не

что иное

как определение производной функции

Rn (n-1) (x)

в точке x0 ,

т.е. он равен

Rn (n) (x0 ) . Но в силу (2) эта производная

равна 0 . Итак

lim

Rn (x)

(n) (x ) = 0.

(x - x0 )n

x®x0

n! n

Теорема доказана.

Выпишем формулу Тейлора с учётом доказанной теоремы:

- 97 -

n		(n)	(x0 )	(x - x0 )k + o(x - x0 )n ), x ® x0.
f (x) = å	f				(3)

k =0		k!

Замечание 1.		Форма Пеано остаточного члена полезна при использовании
формулы Тейлора для вычисления пределов.
Замечание 2.		Формула (3) является естественным обобщением формулы

бесконечно малых приращений (тема «Производная», §4), которую можно записать так: f (x) = f (x0 ) + f '(x0 ) × (x - x0 ) + o(x - x0 ); она получается из (3) при п = 1.

III Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Приведём без доказательства следующую теорему.

Теорема 2.		Пусть		функция		f (x) имеет	в некотором промежутке,
содержащем точку		x0 , производные до (n +1) -го порядка включительно. Тогда
для любого	x из этого промежутка найдётся точка c Î (x0 , x) такая, что
		Rn+1 (x) =			f (n+1) (c)	× (x - x0 )n+1
					(n +1)!

Замечание 1. Форма Лагранжа остаточного члена используется в тех
случаях, когда требуется приближённо вычислить							f (x) при фиксированном
значении	x , отличном		от		x0 . Остаточный член		в этой	форме	напоминает
следующий,	очередной,		член формулы Тейлора,				лишь	только	f (n+1) (x)

вычисляется не в точке x0 , а в некоторой точке с между x и x0 . Выпишем формулу Тейлора с учётом теоремы 2:

n		(k)	(x0 )		f	(n+1)	(c)
f (x) = å	f			× (x - x0 )k +				× (x - x0 )n+1,c Î (x0 , x).
		k!			(n +1)!
k=0

§3. Формула Маклорена. Оценка Rn(x)

I Формула Маклорена

Формулу Тейлора в частном случае, когда x0 = 0 , принято называть формулой Маклорена. Запишем эту формулу для произвольной функции f (x).

f (x) = f (0) +	f '(0)	× x +	f ''(0)	× x2	+ ... +	f (n) (0)	× xn + Rn (x),
	1!		2!			n!

Здесь остаточный член имеет вид: а) в форме Пеано

- 98 -

Rn (x) = o(xn ), x ® 0;

б) в форме Лагранжа

R (x) =	f (n+1) (c)	× xn+1,c Î (0, x).

n	(n +1)!

II Универсальная оценка остаточного члена

Остаточный член (вернее, его абсолютная величина) есть не что иное как погрешность, возникающая при замене функции f (x) её многочленом Тейлора.

Именно для успешного применения формулы Тейлора в приближённых вычислениях и нужна оценка остаточного члена. Такая оценка даётся следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция f (x) имеет в промежутке [- h,h] производные всех порядков, которые равномерно ограничены в совокупности, т.е. существует

число M > 0 такое, что \| f (k ) (x) \|£ M " k = 0,1,2,...,					"x Î[-h,h]. Тогда
для Rn (x), x Î[-h,h], имеем универсальную оценку:
\| R (x) \|£ M ×		x	n+1	.	(1)



n	(n +1)!

Эта оценка сразу следует из формы Лагранжа остаточного члена и из условий теоремы.

В §6 темы «Введение в математической анализ» было доказано, что

lim an = 0 для a > 1.

n®¥ n!

Если 0 < a < 1, то 0 < an < 1 и этот предел тем более равен 0. Отсюда вытекает, что, выбирая достаточно большой номер n , мы можем сделать правую часть (1) меньше любого положительного числа. Это даёт нам возможность применять формулу Маклорена для приближённого вычисления функций (удовлетворяющих условиям теоремы) с любой наперёд заданной точностью.

Лекция 16

§4. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

I. f (x) = ex .

Поскольку f (n) (x) = ex и f (n) (0) =1 "n, то формула Маклорена имеет вид

- 99 -

ex = 1+

+...+

+ R (x)

где: 1) R (x) = o(xn ), x ® 0;

2) | R (x) |£

n+1

× eh , для любого промежутка [-h,h] (очевидно, что

(n +1)!

f (n) (x)

= ex £ eh "n "x Î[-h,h]).

II.

f (x) = sin x .

Известно, что

f (n) (x) = sin(x +

),"n. Тогда:

0,n = 2k

f (n) (0) = sin(

)

= í

k -1

î(-1)

= 2k -1.

Условия теоремы из §3 выполнены на всей оси с

M = 1.Формула Маклорена

имеет вид

sin x = x -

... + (-1)

n-1

x2n-1

+ R2n (x),

(2n -1)!

где: 1) R

(x) = o(x2n ), x ® 0;

2) | R2n

(x) |£

2n+1

"x Î (-¥,+¥) .

(2n +1)!

На первый взгляд написанные формы для

Rn (x) отличаются от общих

результатов. Но надо не забывать, что,

вообще говоря, в разложении для sin x

можно дописать ещё один член с

x2n , только коэффициент при этой степени

равен 0.

III.

f (x) = cos x .

Аналогично предыдущему нетрудно получить

cos x = 1-

- ... + (-1)n

x2n

+ R

(x),

(2n)!

2n+1

где: 1) R

(x) = o(x2n+1), x ® 0;

2n+1

2) | R

(x) |£

2n+2

"x Î(-¥,+¥).

2n+1

(2n + 2)!

- 100 -

IV. f (x) = ln(1+ x) .

Прежде всего, имеем

f '(x) = (1+ x)-1 . Теперь можно использовать формулу

дифференцирования степенной функции:

f (n) (x) = (1+ x)-1 )(n-1) = (-1)(n-1) (n -1)!×(1+ x)-n

При x = 0 : f (0) = 0,

f (n) (0) = (-1)(n-1) × (n -1)!

Формула Маклорена имеет

вид (с учётом того, что (n -1)!/ n!= 1/ n ):

ln(1+ x) = x -

-...+ (-1)n-1

+ R (x),

где: 1) R (x) = o(xn ), x ® 0;

2) | R (x) |£

, x Î[0,1]

n +1

x Î(-1,0) требуется форма

Отметим, что для оценки остаточного члена для

Rn (x) , отличная от формы Пеано и Лагранжа. Кроме того, пользоваться разложением ln(1+ x) в приближённых вычислениях можно только для

x Î(-1,1]: только для таких значений x lim Rn (x) = 0 .

n®¥

V. f (x) = (1+ x)m , m Ï N .

Поскольку

f (n) (x) = m(m -1) ×...× (m - n +1)(1+ x)m-n , то f (n) (0) = m(m -1) ×...×(m - n +1).

Формула Маклорена для этой функции имеет вид:

(1+ x)m = 1+ m x + m(m -1) x2 + ... + m(m -1) ×...× (m - n +1) xn + R (x)				Здесь
1!	2!	n!	n	Здесь
1!	2!	n!
для остаточного	члена имеем:	R (x) = o(xn ), x ® 0.	Как и в	случае
		n

логарифмической функции для оценки | Rn (x) | требуется форма, отличная от

Пеано и Лагранжа. Более подробно об этом мы будем говорить в третьем семестре в теме «Степенные ряды». Отметим только, что написанным разложением в приближённых вычислениях можно пользоваться лишь для

x Î(-1,1) .

VI. Другие функции. Пользуясь известными разложениями, можно, не вычисляя производных, непосредственно писать разложения с остаточным членом в форме Пеано и для более сложных функций. При этом все степени х, до назначенной включительно, учитываем точно, а более высокие степени будем

сразу включать в Rn (x) (не выписывая их).

- 101 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2016159.74 Кб9М_указания_к_практике_2_курс.doc
#
03.03.2016256.98 Кб29МАВ.docx
#
03.03.201657.3 Кб125макет учебного плана.docx
#
03.03.2016274.94 Кб17Макро Курс лекций.doc
#
03.03.2016144.9 Кб6маркет - заочн.doc
#
03.03.20161.71 Mб29МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Часть 1.pdf
#
03.03.20163.71 Mб82материаловедение 10 вариант.docx
#
03.03.2016136.19 Кб6МВ ДІ курсовий проект 2012 семестр 1.doc
#
03.03.2016296.96 Кб34МВ ДИ практ.doc
#
03.03.2016480.26 Кб11МВ ДИ сам.doc
#
01.05.20255.03 Mб1МВ Управлыння Роботою Транспорту (Курсовий прое...doc