Лекція 2. Інтерполяція функцій

У якій формулюється постановка задачі й проводиться побудова основних інтерполяційних багаточленів. Коротко описана методика побудови кубічних сплайнов.

2.1. Постановка задачі

У загальному випадку задача апроксимації формулюється в такий спосіб.

У точках х0, х1, …хn, називаних вузловими, дані значення функції й, бути може, її похідних. Необхідно за цим даними знайти значення функції в точцiх відмінної від вузлової.

У теорії інтерполяції ця задача вирішується в такий спосіб. У попередньо обраному класі функцій будується така функція P(x), вона називається що інтерполює, котра у вузлових точках задовольняє вихідним даним, після чого шукане значення f(x) приймається рівним P(x).

Залежно від обраного класу функцій методика побудови функції, що інтерполює, має свої особливості. Нижче розглянемо випадки, що коли інтерполює функція є алгебраїчним багаточленом, така інтерполяція називається алгебраїчної, або представленої у вигляді сукупності багаточленів ( сплайн-інтерполяція).

2.2. Алгебраїчна інтерполяція, існування й одиничність інтерполяційного багаточлена

Як уже відзначено вище, при алгебраїчній інтерполяції функція, що інтерполює, шукається у вигляді багаточлена, він називається інтерполяційним багаточленом. Задача його знаходження формулюється в такий спосіб.

Дано значення функціїв різних вузлових крапкахх0, х1, …хn. Необхідно знайти багаточлен Pn(x) ступеня n, що приймає у вузлових точках задані значення.

Виявляється, що дана задача розв'язна й має єдине рішення. Дійсно, нехай

,

– шуканий багаточлен, – невідомі коефіцієнти.

Тоді для визначення коефіцієнтів маємо лінійну систему рівнянь

(2.1)

Головним визначником системи (2.1), позначимо його через , є визначник

,

який називається визначником Вандермонда.

Індукцією по n можна показати, що

.

Очевидно, що при значення. Отже, система (2.1) має єдине рішення й, отже, існує єдиний інтерполяційний багаточлен.

2.3. Інтерполяційний багаточлен Лагранжа

Він шукається у вигляді

(2.2)

де коефіцієнти є багаточленами й задовольняють умовам

.

Виявляється, що цих вимог досить для однозначного визначення . Дійсно, багаточлензвертається в нуль у вузлових точках. Отже, він має розкладання

.

Покладемо тепер . Тоді

,

звідки

.

З метою скорочення запису введемо функцію

, (2.3)

тоді

,

і багаточлен (2.2) приймає вид

, (2.4)

де ω(x) описується вираженням (2.3). Багаточлен (2.4) і називається інтерполяційним багаточленом Лагранжа.

2.4. Кінцеві й розділені різниці

Кінцеві й розділені різниці відіграють особливу роль у теорії інтерполяції. Вони використовуються як для формування нових інтерполяційних формул, так і для оцінки погрішності інтерполяції.

Нехай дана таблиця значень функції.Кінцевою різницею першого порядку в точцi x_i (позначається символом ), називається вираження

,

другого порядку, позначається , – вираження

,

k-го порядку, –

.

Так, наприклад, ,,

Розділеною різницею першого порядку в точках ,, позначається, називається вираження

,

другого порядку в точках ,,, позначається, – вираження

,

k-го порядку в точках ,,, – вираження

.

Так, наприклад,

,

,

.

Одержимо деякі корисні для подальшого співвідношення, пов'язані з розділеними різницями.

Виразимо через значення функції у вузлових точках. Так, безпосередньо з визначення треба

,

і, після очевидних перетворень,

.

Продовжуючи, далі, по індукції, одержимо

.

Або, для скорочення запису, використовуючи функцію (2.3),

(2.5)

Зауваження. Якщо в поміняти місцями значення, то це приведе лише до перестановки відповідних доданкiв правої частини співвідношення (2.5). Отже, розділені різниці є симетричними функціями вузлових точок.

Так, наприклад

,

і т.д.

Одержимо тепер друге корисне співвідношення.

Виразимо через розділені різниці. Так, безпосередньо з визначення треба

Додаючи тепер до правої частини після очевидних перетворень одержимо

.

Міркуючи далі по індукції по m прийдемо до шуканого співвідношення

(2.6)

Якщо тепер змінити нумерацію точок і позначити через,черезі т.д., то співвідношення (2.6) з урахуваннямсиметричності розподілених різниць приймає вид

(2.61)