2.8. Інтерполяційні формули для рівновіддалених вузлів

Розглянемо формулу Ньютона (2.7) і припустимо, що вузли є рівновіддаленими, а саме, , де. Зробимо в ній замінуй урахувавши (2.11), одержимо

(2.13)

Це і є багаточлен Ньютона для рівновіддалених вузлів, а погрішність інтерполяції при його використанні оцінюється вираженням (2.12).

Відзначимо, що зі збільшенням порядку значення кінцевої різниці убуває. Тому нерідко необхідна точність обчислення значення функції досягається при меншій кількості доданків, тобто при меншому числі використаних вузлових точок. У зв'язку із цим, залежно від розташування значенняx серед масиву значень x₀ , x₁ , … x_n на основі (2.7) формують окремі формули, використовувані для інтерполяції на початку, кінці й середині таблиці. Розглянемо ці випадки.

Нехай значення x близько до x₀ . Тоді вибираючи для інтерполяції вузлові точки x₀ , x₀ + h, x₀ +m h одержимо

(2.14),

її погрішність, відповідно до (2.12)

Нехай тепер значення x близько до x_n , тобто до кінця таблиці. Тоді вибираючи для інтерполяції вузли x_n, x_n – h,…,x_n–mhі зробивши заміну з (2.7) одержуємо

(2.15),

погрішність інтерполяції

.

Якщо значення x близько до деякому x_k , розташованому в середній частині таблиці, то для інтерполяції звичайно використовують точки x_k , x_k + h, x_{k -}h,…,x_k+mh,x_k-mhВідповідний інтерполяційний багаточлен також виходить із (2.7) і після заміни приймаємо

(2.16),

його погрішність оцінюється вираженням.

.

Інтерполяційному багаточлену (2.16) можна додати більше симетричний вид. Так, розбиваючи непарні доданки, починаючи із третього, на два, і групуючи з парними, одержимо

Представимо тепер різниці в дужках у вигляді

, і т.д., одержимо багаточлен,

який називається інтерполяційним багаточленом Ньютона – Стiрлiнга.

2.9. Сплайн - інтерполяція

Одним з недоліків розглянутих методів є високий ступінь інтерполяційного багаточлена, що не завжди є бажаним. Розбивка ж вихідного відрізка на часткові й побудова на них окремих інтерполяційних багаточленів приводить до того, що в точках стику багаточленів похідні розривнi. Цього недоліку позбавлені функції, що інтерполюють, побудовані на основі сплайнов.

Сплайном на відрізку [a, b] називається функція, безперервна на відрізку разом зі своїми похідними до заданого порядку включно, що на часткових проміжках цього відрізка описується різними алгебраїчними багаточленами.

Розглянемо методику побудови сплайна, заснованого на алгебраїчних багаточленах третього ступеня, тобто так звану, кубічну сплайн – інтерполяцію.

Як і раніше, уважаємо заданої таблицю значень функції в точкахa=x₀ , x₁ , x₂ , …, x_n = b... На кожному з відрізків [ xi-1 _, x _i] багаточлен P_i(x) будемо шукати у вигляді

Таким чином, загальне число багаточленів дорівнює n, а число невідомих коефіцієнтів,- 4n . Тому для їхнього визначення необхідно така ж кількість умов.

Зажадаємо, щоб кожний багаточлен у крайніх точках свого відрізка задовольняв умовам

, ,,

що дає 2n співвідношень. Далі, зажадаємо, щоб у внутрішніх вузлових точках перша й друга похідні функції, що інтерполює, були безперервними, тобто

, ,.

Це дає ще 2( n-1) обмежень. Для одержання двох відсутніх можна додатково зажадати, що в крайніх точках відрізка функція, що інтерполює, мала нульову кривизну, тобто,

,

Таким чином, для визначення коефіцієнтів багаточленів маємо систему рівнянь.

,

яка виявляється лінійною. У тому випадку, коли вузлові точки є рівновіддаленими, тобто , вона істотно спрощується й приймає вид

.

Зокрема, для трьох рівновіддалених вузлів, тобто n=2 , маємо

яка легко вирішується в загальному виді. Дійсно, з 1-го, 2-го, 5-го й 6-го рівнянь треба ,,і, а частина, що залишилася, після традиційних перетворень приводиться до трикутного виду

.