- •В. Н. Бєловодський Вісім лекцій по чисельних методах
- •7.080407 «Комп'ютерний еколого-економічний моніторинг»)
- •Лекція 1.Елементи теорії погрішностей
- •.Типи й джерела погрішностей
- •1.2.Абсолютні й відносні погрішності наближених чисел
- •1.3. Погрішності виконання арифметичних операцій
- •.Погрішність обчислення функції
- •1.5.Запис наближених чисел
- •1.6.Правила дій над наближеними числами
- •1.7.Погрішності при машинному поданні чисел
- •1.8. Варіанти індивідуальних завдань
- •Лекція 2. Інтерполяція функцій
- •2.1. Постановка задачі
- •2.2. Алгебраїчна інтерполяція, існування й одиничність інтерполяційного багаточлена
- •2.3. Інтерполяційний багаточлен Лагранжа
- •2.4. Кінцеві й розділені різниці
- •2.5. Інтерполяційний багаточлен Ньютона
- •2.6. Порівняльний аналіз інтерполяційних багаточленів
- •2.7. Погрішності інтерполяційних формул
- •2.8. Інтерполяційні формули для рівновіддалених вузлів
- •2.9. Сплайн - інтерполяція
- •2.10. Варіанти індивідуальних завдань
- •Лекція 3. Методи рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •3.1. Попередні зауваження
- •3.2. Точні методи рішення
- •3.3. Наближені методи рішення
- •3.4. Збіжність і погрішність наближених методів
- •3.6. Варіанти індивідуальних завдань
- •Лекція 4. Вирішення нелінійних рівнянь
- •4.1. Попередні зауваження
- •4.2. Методи, засновані на алгебраїчній інтерполяції
- •4.3. Метод послідовних наближень
- •4.4. Завдання
- •Лекція 5. Рішення систем нелінійних рівнянь
- •Метод ітерацій
- •Метод Ньютона
- •5.3. Порівняльний аналіз методів
- •5.4. Завдання
- •Вимоги до програми
- •Вимоги до звіту
- •6.1. Вступні зауваження
- •6.2. Формули Ньютона-Котеса
- •6.3. Найпростіші квадратурні правила
- •6.4. Погрішності квадратурних формул
- •6.5. Поняття про методи Монте-Карло
- •6.6. Завдання
- •Варіанти завдань
- •Лекція 7. Методи рішення звичайних диференціальних рівнянь
- •Вступні зауваження
- •Аналітичні методи
- •Чисельні методи рішення. Правило Рунге
- •Завдання
- •Лекція 8. Основи спектрального аналізу
- •Елементи загальної теорії
- •Дискретна форма рядів Фур'є
- •8.4. Завдання
2.10. Варіанти індивідуальних завдань
На проміжку [a, b] скласти таблицю значень функції y=f(x) в (n+1)-ой рiвновiддалених вузлових точках. По цій таблиці побудувати інтерполяційні багаточлени Лагранжа й Ньютона. В обох випадках визначити наближені значення функції в точці по формулі. Оцінити погрішністьотриманих значень, зрівняти її з “точною ” погрішністю.
У варіантах 1-12 уважати ,,
у варіантах 13-25, - ,,
де - номер варіанта. Значеннязадається викладачем.
Лекція 3. Методи рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
У якій розглядаються точні ( Гаусса, Жордана-Гаусса) і наближені ( простої ітерації, Зейделя) методи рішення. З використанням елементів теорії стискаючих відображень розглянуті питання збіжності ітераційних послідовностей і оцінки погрішності наближених рішень.
3.1. Попередні зауваження
У розгорнутому виглядi система n лінійних алгебраїчних рівнянь має вид
(3.1)
де - відомі коефіцієнти,- шукані величини. Якщо позначити через
те (3.1) можна представити й у матричному виді
(3.11)
Рішенням системи (3.1) (або (3.11))називається набір значень , обертаючий кожне з рівнянь системи у вірну рівність. |
Необхідні й достатні умови можливості розв'язання системи (3.1) описуються теоремою Кронекера – Капеллi. Припускаючи їх виконаними, зупинимося на розгляді точних і наближених методах її розв’язання.
Точним називається метод, що дозволяє за кінцеве число точно виконуваних операцій одержати точне рішення. У противному випадку метод називається наближеним.
3.2. Точні методи рішення
До числа розповсюджених ставляться метод Гаусса і його модифікація, називана методом Жордана – Гаусса.
Метод Гаусса. Центральною частиною даного методу є процедура приведення вихідної системи рівняння до трикутного, у загальному випадку, трапецієподібному, вигляду. Це здійснюється шляхом еквівалентних перетворень системи в наступній послідовності.
Крок 1. У лівій частині першого рівняння вибирається відмінний від нуля коефіцієнт, що називається провідним або визначальним. Нехай це , у противному випадку доможемося цього, переставивши стовпці й перенумерувавши невідомі. Після цього розділимо перше рівняння на провідний елемент
.
Крок 2. Віднімемо почтенно із другого рівняння перше, помножене на , далі, із третього перше, помножене най т.д., нарешті з n-го,- перше, помножене на. У результаті цього одержимо
.
Крок 3. Перше рівняння залишимо незмінним, а в другому,- виберемо провідний елемент, нехай це й розділимо на нього друге рівняння.
Крок 4. Із третього й всіх наступних рівнянь, описаним вище способом, виключимо змінну х2.
Далі, надходячи в такий же спосіб із третім і іншим рівняннями за кінцеве число кроків приведемо систему до трикутного вигляду
(3.2)
якщо рішення єдине, або до трапецеподiбного, якщо рішень нескінченно багато. Якщо ж на якімсь кроці одне з рівнянь прийме вигляд , то це означає несумісність вихідної системи рівнянь.
Описаний процес перетворення системи називається прямим ходом. Припустимо, що в результаті виконання прямого ходу система наведена до виду (3.2). У цьому випадку з останнього рівняння визначається значення . Воно підставляється в попереднє, з якого перебуває . Знайдені значення , підставляються в ( n-2)-е рівняння, з якого перебуває . Далі, діючи аналогічним образом, з ( n-3)-го рівняння визначається значення , з ( n-4)-го, - і, нарешті, з першого – значення . Процес послідовного знаходження із системи (3.2) називається зворотним ходом.
З метою зниження впливу погрішностей округлення, що виникають при виконанні обчислень, як ведучий рекомендується вибирати найбільший по модулі елементи лівої частини рівняння. Дійсно, у цьому випадку коефіцієнти системи (3.2) по модулі не перевищують одиницю й часткові погрішності значенняxi , обумовлені помилками значеньxm
не перевищує величини , тобто не зростають.
Метод Жордана -Гаусса. Сполучає виконання прямого й зворотного ходів методу Гаусса. Реалізується в такий спосіб.
Крок 1, 2, 3. Збігаються з першими кроками методу Гаусса.
Крок 4. За допомогою другого рівняння змінна видаляється не тільки з наступних, але й з попереднього, тобто першого рівняння. У результаті цього система приймає вигляд
.
Далі, розглядається третє рівняння й з його допомогою описаним способом виключається змінна із всіх інших рівнянь. Надходячи також з кожним наступним рівнянням, і проводячи, бути може, перепозначення невідомих, за кінцеве число кроків система приводиться до виду
.
Стовпець правих частин і являє собою розв’язок системи рівнянь.
Порівняльний аналіз. З погляду трудомісткості обчислень обидва методи практично еквівалентні. Так, для реалізації методу Гаусса необхідно арифметичних операцій, для виконання методу Жордана-Гаусса,-.
Разом з тим, у літературі відзначається цікава особливість методу Жордана-Гаусса. А саме, якщо внести деякі зміни в порядок його виконання, то можна досягти істотного зниження необхідного об'єму оперативної пам'яті. Так, розглядаючи друге рівняння, використовувати перше для виключення в ньому змінної х1, після чого використовувати модифіковане друге для виключення змінної х2 з першого рівняння. Далі, при розгляді третього рівняння використовувати перші два для виключення в них змінних х1 , х2 , після чого використовувати третє для виключення з перших двох змінних х3. І так далі. При такій організації обчислень на кожному кроці в роботі бере участь не вся система, а тільки її частина. Показано, що при рівних об'ємах використовуваної оперативної пам'яті це дозволяє приблизно у два рази, у порівнянні з методом Гаусса, підвищити порядок розв'язуваної системи.
Зауваження. До числа точних ставляться й методи, засновані на розкладанні матриці А лівої частини системи (3.11) у вигляді добутку двох трикутних матриць У и С, тобто А=ВР, де
, .
У цьому випадку система приймає вигляд
BСХ=b,
і, позначивши Y=CX, замість системи (3.11), маємо дві системи рівнянь із трикутними матрицями
BY=b
CX=Y.
Центральним моментом таких методів є реалізація зазначеного розкладання матриці А. Показане, що для симетричних і неврожденних матриць такі процедури існують.