- •В. Н. Бєловодський Вісім лекцій по чисельних методах
- •7.080407 «Комп'ютерний еколого-економічний моніторинг»)
- •Лекція 1.Елементи теорії погрішностей
- •.Типи й джерела погрішностей
- •1.2.Абсолютні й відносні погрішності наближених чисел
- •1.3. Погрішності виконання арифметичних операцій
- •.Погрішність обчислення функції
- •1.5.Запис наближених чисел
- •1.6.Правила дій над наближеними числами
- •1.7.Погрішності при машинному поданні чисел
- •1.8. Варіанти індивідуальних завдань
- •Лекція 2. Інтерполяція функцій
- •2.1. Постановка задачі
- •2.2. Алгебраїчна інтерполяція, існування й одиничність інтерполяційного багаточлена
- •2.3. Інтерполяційний багаточлен Лагранжа
- •2.4. Кінцеві й розділені різниці
- •2.5. Інтерполяційний багаточлен Ньютона
- •2.6. Порівняльний аналіз інтерполяційних багаточленів
- •2.7. Погрішності інтерполяційних формул
- •2.8. Інтерполяційні формули для рівновіддалених вузлів
- •2.9. Сплайн - інтерполяція
- •2.10. Варіанти індивідуальних завдань
- •Лекція 3. Методи рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •3.1. Попередні зауваження
- •3.2. Точні методи рішення
- •3.3. Наближені методи рішення
- •3.4. Збіжність і погрішність наближених методів
- •3.6. Варіанти індивідуальних завдань
- •Лекція 4. Вирішення нелінійних рівнянь
- •4.1. Попередні зауваження
- •4.2. Методи, засновані на алгебраїчній інтерполяції
- •4.3. Метод послідовних наближень
- •4.4. Завдання
- •Лекція 5. Рішення систем нелінійних рівнянь
- •Метод ітерацій
- •Метод Ньютона
- •5.3. Порівняльний аналіз методів
- •5.4. Завдання
- •Вимоги до програми
- •Вимоги до звіту
- •6.1. Вступні зауваження
- •6.2. Формули Ньютона-Котеса
- •6.3. Найпростіші квадратурні правила
- •6.4. Погрішності квадратурних формул
- •6.5. Поняття про методи Монте-Карло
- •6.6. Завдання
- •Варіанти завдань
- •Лекція 7. Методи рішення звичайних диференціальних рівнянь
- •Вступні зауваження
- •Аналітичні методи
- •Чисельні методи рішення. Правило Рунге
- •Завдання
- •Лекція 8. Основи спектрального аналізу
- •Елементи загальної теорії
- •Дискретна форма рядів Фур'є
- •8.4. Завдання
3.3. Наближені методи рішення
При використанні наближених методів передбачається, що система (3.11) представлена у вигляді
x=Bx+d, (3.3)
який називається нормальною формою системи рівнянь.
Процес обчислень у цьому випадку організують у такий спосіб. По тимі або інших міркуваннях вибирається початкове наближення до рішення системи. Воно підставляється в праву частину (3.3) , отримане значення позначається через, приймається як наступне наближення й підставляється в праву частину для одержанняй т.д. Таким чином, обчислювальний процес описується формулою
(3.4)
і називається ітераційним. Процедура одержання чергового наближення називається ітерацією. Після виконання ряду таких ітерацій одне з наближень і приймається як наближене рішення. Оцінка отриманої при цьому погрішності й питання збіжності послідовності розглянемо нижче. Описана процедура наближеного рішення системи рівнянь називаєтьсяметодом простої ітерації.
Модифікацією цього методу є метод Зейделя. Його відмінність полягає в тому, що при одержанні компонентів (до+1)-го наближення використовуються отримані на цій же ітерації «поліпшені» значення попередніх компонентів. Математично цей процес описується в такий спосіб
. (3.5)
З метою прискорення збіжності в якості чергової поліпшувати^ся компоненты, що, рекомендується вибирати ту, котрої відповідає найбільше значення модуля нев'язання, тобто значення . Це реалізується так. Після одержання до-го наближення формується вектор
,
компоненти якого впорядковуються по убуванню їхніх модулів. Установлений у результаті цього порядок переноситься й на послідовність обчислення компонент (до+1)-го наближення за правилами (3.5).
Можна показати, що стаціонарний метод Зейделя (3.5), тобто коли порядок обчислення компонент незмінний, зводиться до методу простої ітерації. Дійсно, позначимо через B1, B2 наступні матриці
,
Тоді в матричному виді процес (3.5) виглядає так
.
Звідси
и
.
Таким чином, стаціонарний метод Зейделя з матрицею В еквівалентний методу простої операції з матрицею .
3.4. Збіжність і погрішність наближених методів
Для опису збіжності обчислювального процесу й оцінкипогрішності наближеного рішення необхідні додаткові поняття.
Поняття норми.Нормою вектора х, позначається , називається величина ,що задовольняэ умовам:
1. ;
2. х=0; (3.6)
3. ;
4. .
У теорії метричних просторів одержали поширення наступні типи норм:
1. ;
2. ;
3. .
Залежно від типу геометричної фігури, одержуваної в тривимірному просторі, описуваної умовою , перша з них називаєтьсякубічною, друга,- октаедрическою і третя,- сферичною.
Нормою матриці А, позначається , називається величина, що задовольняє крім вимог (3.6) додатковій умові
Звичайно, використовуються одна з наступних норм:
1. ;
2. ;
3. .
При одночасному використанні норм необхідно їхнє узгодження. А саме, норма вектора першого типу використовується з нормою матриці першого типу й т.д.
Поняття відстані. Відстанню між векторами x, y, позначається символом , називається величина
.
Із властивості 4 (3.6) треба важливе для подальшого, так зване, нерівність трикутника
Дійсно,
Стискаючі відображення. Нехай F ,- деяке відображення в лінійному просторі векторів. Воно називається стискаючої,- якщо існує таке число , що для будь-яких векторівx, y виконується співвідношення
.
Стосовно до нормальної форми системи рівнянь (3.3) у якості F розглянемо праву частину системи рівнянь. А саме,
.
Тоді
.
Таким чином, для того, щоб відображення, обумовлене системою (3.3) було стискаючої досить , щоб одна з норм матриці В була менше 1.
Поняття збіжності. Нехай , дедо = 1, 2, …,- деяка нескінченна послідовність векторів. Говорять, що вона сходиться до вектора х по нормі, якщо
Послідовність сходиться до векторапокомпонентно, якщо
для .
Неважко показати, що два ці поняття до певної міри еквівалентні. А саме, якщо послідовність сходиться по нормі, то вона сходиться покомпонентно й навпаки.
При аналізі збіжності послідовностей центральне місце належить ознаці Коші:
Послідовність сходиться тоді й тільки тоді, коли длятакий номер, що дляйвиконується
(або для).
|
Збіжність ітераційного процесу. Оцінка погрішності. Нехай ,- ітераційна послідовність, тобто
, (3.7)
де ,- стискаюче відображення з коефіцієнтом стиску.
Розглянемо . По індукції маємо
. (3.8)
Далі, по властивості трикутників і з обліком (3.8), справедливим виявляється співвідношення
(3.9)
Зажадавши тепер, щоб
,
очевидно, можна знайти номер , починаючи з якого для ,m > 0 .
Таким чином, для стискаючого відображення ознака Коші виконаний і, отже, ітераційний процес (3.7) сходиться.
Оцінимо тепер погрішність до-го наближення, а саме, величину , де х-х- точне рішення. Із цією метою розглянемо співвідношення (див. (3.9))
Переходячи в ньому до межі при , одержимо , таким чином,
(3.10)
і доведеним стає твердження:
Якщо одна з норм матриці B системи рівнянь (3.3) менше одиниці, то ітераційний процес (3.4) є збіжним при будь-якому початковому наближенні. Погрішність до-го наближення описується співвідношенням (3.10).
|
3.5 Приведення системи Ax=b до нормального виду
З попереднього треба, що успіх наближеного рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.1) багато в чому визначається можливістю її приведення до нормального виду (3.3), для якого виконується достатні умови збіжності. Приведемо деякі розумiння й рекомендації на цей рахунок.
Перший варіант. Розглянемо систему
Ах=b.
Представимо матрицю А в виді суми А=А1+А2, де det А1 ≠ 0. Тоді
(А1+А2)x=b,
звідси
.
Позначивши через ,, одержимо
,
що й було потрібно. Тоді для того, щоб забезпечити виконання достатньої умови збіжності , у якостіА1 досить взяти матрицю близьку до А , тобто А1≈А, у якості А2, - «малу» матрицю .
Пояснимо цю пропозицію на прикладі. Розглянемо
,
Тут . Нехай
,
Тоді . Знайдемо.
Маємо det А1 = -2 ≠ 0 і
.
Тоді
і система приймає вид
.
Очевидно, для збіжності методу ітерацій досить взяти .
Другий варіант. Полягає в наступному. Шляхом еквівалентних перетворень намагаються домогтися того, щоб діагональні елементи в матриці А домінували в лівій частині відповідних рівнянь, тобто були по модулі істотно більше інших. Після цього кожне з рівнянь ділять на й, перше рівняння дозволяють відноснодруге,- відносной т.д.
Як приклад розглянемо наступну систему
У результаті аналізу коефіцієнтів лівої частини рівнянь виробляється їхня перестановка
і для забезпечення домінування в другому рівнянні коефіцієнта , що поки дорівнює-7,9, до другого рівняння додається третє. У результаті цього маємо
або, у нормальній формі,
.
Тут матриця
,
очевидно, її норма , і, отже, формований нею ітераційний процес сходиться.
Третій варіант. Є обґрунтованим теоретично, формалiзуємим і, із цієї причини, мабуть, найбільш зручним. Він полягає в наступному.
Розглянемо систему (3.11)
Ax=b
і припустимо, що det А1 ≠ 0. Помножимо обидві частини на , одержимо
A1 x=b1,
де A1=АТА, b1= AT b. Тут матриця A1 є симетричною, тобто , причому її діагональні елементи, у противному випадку, принаймні, один зі стовпців матриціА дорівнює нулю й, отже, det А = 0. Далі, ділячи рівняння на діагональні елементи й, дозволяючи їх відносно,і т.д. одержимо нормальну систему
,
де .
Показано, що для нормальної системи, отриманої таким чином, метод Зейделя сходиться.