4. .Погрішність обчислення функції

З метою спрощення математичних перетворень, розглянемо функцію двох аргументів , припускаю її досить гладкої, тобто крапки, щомає в достатній околиці (x, y) безперервні похідні першого порядку. Припустимо також, що відомо абсолютні ,і відносні,погрішності її аргументів. Поставимо задачу визначити абсолютнуй відноснупогрішності обчислення функції в крапці(x, y).

Оцінимо абсолютну величину погрішності функції. Із цією метою, використовуючи теорему Лагранжа, одержиме

(1.9)

де .

Використовуючи, далі властивість модуля суми, маємо

.

І, нарешті, крім залежності оцінки від невідомих величин , одержиме

,

де ,,

.

Позначимо

.

Якщо на качану перетворень (1.9) до вихідного вираження додати, те в результаті аналогічних дій одержимо другові оцінку

,

де

,

де

, .

Тоді, мабуть, у якості необхідно взяти найменшу з них, тобто покласти

.

Якщо ж допустити, що цілком природно, достатню малість абсолютних погрішностей , те в якостіможна взяти більше просту, однак трохи завищену оцінку

. (1.10)

Дійсно, у силу ,, очевидной.

У цьому випадку з (1.10) для треба вираження

(1.11)

Аналогічним образом, для функції декількох змінних , одержиме

і

,

де

.

1.5.Запис наближених чисел

Наближені числа прийняте записувати, указуючи лише вірні значущі цифри. Розглянемо - число, представлене виді десяткової, а загалом кажучи, n-iчний дріб. Його цифри, починаючи з першої відмінної від нуля ліворуч, називаються значущими. Наприклад, у числі 0.010230 п'ять значущих цифр, це - 1, 0, 2, 3, 0. Значуща цифра називається вірної, якщо модуль погрішності числа не перевищує одиницю розряду, що відповідає цій цифрі. Тому що погрішність числа, як правило, невідома, те при визначенні вірних знаків використовують абсолютну погрішність. Так, нехай, наприклад, погрішність числаx = 12.3405 дорівнює 0.001. Тоді вірними значущими цифрами є 1, 2, 3, 4, 0.

Для запису числа з вірними значущими цифрами використовують як десяткову, так і показову форми. Нехай, наприклад, вихідне наближене число x = 1203.045, а =0.03. Тоді вірними є цифри 1, 2, 0, 3, 0 і можливі запису:x = 1203.0 або 120.30∙ 10 або 0.12030∙ 10⁴ і т.д.

Помітимо, що запис без останнього праворуч нуля, наприклад, 120.3∙ 10 невірна. Якщо ж , те вірними є цифри 1, 2, 0 і число варто записати так:x=120∙ 10 або 0.120∙ 10⁴ , тобто зберігаючи його в записі рівно три значущі цифри. Запис x=1200 або x=0.12 ∙10⁴ буде невірна.

Запис чисел, що містить лише вірні значущі цифри, має певне достоїнство, тому що дає можливість становити судження про величину абсолютної й відносної погрішності. Дійсно, нехай запис x=0.012 містить лише вірні знаки. Тоді, при відсутності іншої інформації, варто вважати , звідси.

1.6.Правила дій над наближеними числами

Отримані вище співвідношення, що описують характер поширення погрішностей при одиничних обчисленнях, непридатні для оцінки погрішностей при значних обсягах обчислень. Вони не враховують можливість взаємного погашення погрішностей, що має місце при реальних обчисленнях і дають сильно завищені оцінки. Тому на практиці рекомендують надходити відповідно до певних правил, підтвердженими спеціально проведеними обчисленнями. Приведемо деякі з їх.

Правило 1. При невеликому об'ємі обчислень (кілька десятків операцій) і різному числі вірних значущих цифр у вихідних даних необхідно провести округлення до найменшого числа значущих цифр, перебачивши, по можливості, одну додаткову. Також варто надходити й із проміжними результатами, відкинувши додаткову цифру в залишковому, провівши округлення.

Правило 2. При значному об'ємі обчислень (сотні й більше операцій) і при необхідності одержати в результаті n вірних значущих цифр рекомендується провести округлення вихідних даних до (n+2)-х вірних цифр. Також варто надходити й із проміжними результатами, провівши округлення заключного до n знаків.

У зв'язку із цим зробимо наступне зауваження.

При проведенні машинних обчислень, як правило, не передбачається можливість обліку значущих цифр у проміжних обчисленнях. Однак наявність великої кількості знаків у залишковому результаті не повинне створювати ілюзію високої точності зроблених обчислень. Довіра, по - колишньому, повинні викликати знаки, зазначені в наведених правилах. Іноді для оцінки вірогідності отриманого результату задачу вирішують різними методами й співпадаючі знаки думають вірними.

На закінчення нагадаємо одне з основних правил округлення, називане округленням з виправленням.

Якщо відкидається частина числа, що, перевищує половину молодшого розряду , що залишається, те відповідна йому цифра збільшується на одиницю. Якщо відкидається частина, що, дорівнює половині зазначеного розряду, те відповідна цифра збільшується на одиницю, якщо є непарною.

Так, наприклад,

1.346 → 1.3

1.346 → 1.35 →1.4 ,

частини, що відкидаються, виділені. Оборотний увага на різний підсумковий результат, що залежить від порядку проведених округлень. Однак в обох випадках цифри, що залишилися, є вірними.