Метод Ньютона
У принциповому плані він являє собою узагальнення раніше розглянутого методу дотичних.
Припустимо, що вихідна система рівнянь має вигляд (5.4) або в згорнутому вигляді
. (5.41)
Нехай
,-
деяке наближення до рішення. Розкладемо
ліві частини (5.4), (5.41) по формулі Тейлора,
обмежуючись обліком малих першого
порядку. У результаті цього, одержимо
,
або, у більше зручному, матричному вигляді
,
де
,-
матриця Якоби системи функцій
.
Припускаючи, що
,
розв'яжимо останнє рівняння відносноx.
Тоді
і на основі цього співвідношення формується обчислювальний процес
|
|
,
(5.5)
який і називається методом Ньютона.
Якщо
послідовність
сходиться до деякого вектораx,
то він очевидно, і є рішенням системи
(5.41). Дійсно, у цьому випадку з (5.5) треба
,
звідки,
у силу
,
.
Питання
збіжності послідовності (5.5) можуть бути
вивчені також, як у п. 5.2. Достатнім для
реалізації методу в області D,
що містить рішення, є вимога
.
5.3. Порівняльний аналіз методів
Зробимо деякі зауваження загального характеру, що стосуються особливостей розглянутих методів, що випливають безпосередньо з їхніх алгоритмів.
В обох методах присутній вимога ,що матриця Якобi є невиродженою. При рівному числі ітерацій, безумовно, більше трудомістким є метод Ньютона, що вимагає, на кожному кроці ітераційного процесу, звернення матриці. Однак цей недолік може компенсуватися більше високою швидкістю збіжності, обумовлений конкретним виглядом рівнянь. В обох випадках трудомісткою операцією є забезпечення збiжностi ітераційних послідовностей. Можливо, розумним виявиться перехід з методу на метод по ходу виконання ітераційного процесу у випадку порушення умов збіжності одного з них.
5.4. Завдання
Скласти програму для ЕОМ, що знаходить рішення системи 2-х рівнянь із двома невідомими (відповідно до варіанта завдання) методами простої ітерації й Ньютона з довільно заданою точністю.
Вимоги до програми
Виведення облікової інформації про програму (тема роботи, Ф.И.О. автора).
Наявність меню для вибору методу пошуку рішення із вказівкою виду відповідних систем.
Для вибору початкового наближення графічним методом у програмі повинна бути передбачена можливість виведення на екран графіка кожної з функцій. При неможливості явно виразити одну зі змінних з рівнянь (2.1) для побудови графіків варто скористатися методом порядкового сканування.
Виведення вихідних даних (після вибору методу рішення системи): початкові значення x,y і величина припустимої погрішності.
Програма повинна могти знайти всі коріння даного рівняння зазначеним методом, якщо коренів кінцеве число, або три корені, найближчих до початку координат, якщо рівняння має нескінченне число корінь.
Вивести результати розрахунку на екран у вигляді таблиці:
|
№ ітерації |
xn |
yn |
|xn-xn-1| |
|yn-yn-1| |
F(x) |
G(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. Графіки функцій припустимо будувати, використовуючи пакети прикладних програм (MathCAD, MatLab і т.п.)