6.5. Поняття про методи Монте-Карло

Методи Монте-Карло наближеного обчислення інтегралів засновані на використанні рівномірно розподілених послідовностей.

Розглянемо на площині деяку обмежену область D площею й припустимо, що в ній задана деяка нескінченна послідовність точок,…...Нехай деяка довільна область площею. Розглянемо перші N крапок послідовності {Pi} і позначимо черезчисло точок з них, що попадають вd. Тоді

Послідовність {Pi} рівномірно розподілена в D тоді й тільки тоді, коли

для довільної області d D.

Звідси треба, що при досить більших значеннях N відношення

,

звідки площа області приблизно дорівнює

(13)

Таким чином, якщо площа області D відома, то, генеруючи в ній рівномірно розподілену послідовність, площу довільної області, розташованої в ній, можна визначити простим підрахунком числа точок приналежних послідовністi {Pi}.

На цих особливостях і базуються методи наближеного інтегрування Монте-Карло.

Розглянемо інтеграл (1) і для спрощення припустимо, що f(x)0. Тоді, значення (1) являє собою площа криволінійної фігури, обмеженої графіком y=f(x), x [a, b] . Візьмемо як область D прямокутник [a, b; 0,M] , де M max f(x,) площею = M( b-a). Далі формуючи вD рівномірно розподілену послідовність і здійснюючи підрахунок ,– числа точок приналежних фігурi, обмежену графіком y=f(x), по формулі (13) визначимо наближене значення площі й, тим самим, наближене значення інтеграла(1).

Відомі різні способи генерування рівномірно розподілених послідовностей, зокрема, випадково розподілені, – послідовності. Більш докладно про їх див. СобольI.М., Статников Р.Б. Вибір оптимальних параметрів у задачах з багатьма критеріями.-М.: Наука, 1981. -110стор.

6.6. Завдання

1. Застосовуючи ручний прорахунок, обчислити значення заданого визначеного інтеграла (відповідно до варіанта завдання) з точністю 0,005*(1+k MOD 6) одним з 3-х методів:

1) прямокутників;

2) трапецій;

3) Симпсона.

Метод вибрати по формулі: ( k-1)MOD 3+1. k - номер студента в списку групи.

Побудувати графік функції f(x) на відрізку інтегрування. Необхідну кількість розбивок відрізка інтегрування для кожного з методів знайти, використовуючи відповідні формули для погрішності. Привести всі проміжні обчислення й побудувати графіки всіх необхідних функцій.

2. Скласти програму, що обчислює значення даного інтеграла трьома зазначеними методами з довільно заданою точністю. Контроль точності робити по методу Рунге (подвійного прорахунку):

|IN-I_2N|/(2 m-¹) < e,

де I_N і I_2N – значення інтеграла, знайдені із числом вiдрiзкiв, рівним відповідно N і 2N; m – порядок точності методу.

Вхідні дані програми: значення припустимої погрішності й початкова кількість розбивок відрізка інтегрування (однакове для всіх методів). Вихідні дані: значення інтеграла, знайдені кожним методом і кінцеве число вiдрiзкiв для кожного методу.

Результати розрахунків звести в підсумкову таблицю:

	Методи
	Прямокутників	трапецій	Симпсона
Значення інтеграла
Кіл-ть розбивок