
- •«Спеціальні розділи математики»
- •«Теорія ймовірностей і математична статистика»
- •Специальные разделы метематики
- •1.4.2 Правила комбинаторики
- •2 Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Теорема умножения вероятностей
- •2.4 Следствия теорем сложения и умножения
- •2.4.1 Теорема о вероятности появления хотя бы одного события
- •2.4.2 Формула полной вероятности
- •3 Случайные величины
- •3.1 Общие сведения
- •3.2 Функция распределения случайной величины.
- •3.4.1 Формы закона распределения дискретной случайной величины
- •3.4.2 Числовые характеристики дсв
- •3.4.3 Основные (типовые) распределения дсв.
- •3.5 Непрерывные св
- •3.5.1. Формы представления закона распределения нсв
- •3.5.2 Числовые характеристики нсв
- •3.5.3 Основные (типовые) законы распределения нсв
- •4. Система двух св (двумерная св)
- •4.1. Общие сведения
- •4.2. Закон распределения системы двух св
- •4.2.1 Табличное представление закона распределения двумерной св
- •4.2.2 Интегральная функция распределения двумерной св
- •Числовые характеристики системы двух св
- •Зависимые и независимые св
- •Часть II Математическая статистика
- •5. Элементы математической статистики
- •5.1 Теория выборок
- •5.1.1 Способы формирования выборки
- •5.1.2 Статистическое распределение выбоки
- •5.1.3 Числовые характеристики выборки
- •5.2 Теория оценок
- •5.2.1. Точечные оценки.
- •5.2.2 Интервальные оценки
- •5.3 Теория проверки статистических гипотез
- •5.3.1 Виды статистических гипотез
- •5.3.2 Статистический критерий
- •5.3.3 Проверка статистической гипотезы о параметрах распределения
- •5.3.4 Проверка статистической гипотезы о законе распределения
- •6 Элементы корреляционного анализа
- •6.1 Корреляционное поле
- •6.2 Выборочный коэффициент корреляции
- •6.3 Выборочное корреляционное отношение (вко)
- •7. Элементы регрессионного анализа
- •7.1 Выборочные уравнения регрессии
- •7.2 Выборочное уравнение прямой линии регрессии
- •7.3 Выборочное уравнение нелинейной регрессии
- •8. Элементы дисперсионного анализа
- •8.1 Общие сведения
- •8.2 Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений.
- •8.3 Общая, факторная и остаточная дисперсии.
- •8.4 Применение метода дисперсионного анализа
3.5 Непрерывные св
Непрерывной
СВ в широком смысле
называется СВ, которая может принимать
все (бесконечно много) значения из
некоторого конечного или бесконечного
промежутка. Если функция распределения
везде непрерывна и имеет производную,
СВ
называетсянепрерывной
в узком смысле.
Пример:
Координаты точки попадания при выстреле.
Время опоздания поезда.
3. Время безотказной работы лампы.
3.5.1. Формы представления закона распределения нсв
Ряд распределения, многоугольник распределения и формула не используются в качестве закона распределения НСВ.
Функция
распределения НСВ
,
есть непрерывная, кусочно-дифференцируема
функция с непрерывной производной.
График
функции распределения
НСВ
,
которая принимает все возможные значения
на интервале
.
Из свойства 2 функции распределения вытекает важное следствие для НСВ: вероятность того, что НСВ примет одно определенное значение равна 0. И тогда
Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что НСВ примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малой.
При
этом надо понимать, что
не
означает,
что событие
невозможно. В результате испытания НСВ
обязательно примет одно из возможных
значений, в том числе и
.
Плотность
вероятностей (плотность распределения
вероятностей,
плотность)
НСВ
- функция, определяемая как первая
производная функции распределения
(3.12)
Из
определения следует, что
- есть первообразная
и выражается через
формулой.
(3.13)
Геометрически
есть площадь кривой распределения,
лежащая левее точки
.
График
называетсякривой
распределения.
Размерность
обратна размерности СВ (это не вероятность).
Свойства
:
1.
неотрицательная функция, т.е.
2.Несобственный
интеграл от
на интервале
равен 1.
(3.14)
Это так называемое условие нормировки плотности распределения.
Если
все возможные значения НСВ
принадлежат интервалу
,
то
(3.15)
Вероятность того, что НСВ
примет значение из интервала
равна определенному интегралу от
, взятому на интервале
(3.16)
Геометрически
это означает, что
есть площадь под кривой распределения,
ограниченная линиями
и
слева и справа соответственно и осью
абсцисс внизу.
Величина
для НСВ называетсяэлементом
вероятности и
приближенно равна вероятности попадания
СВ
на
элементарный отрезок
,
примыкающий к точке
.
(3.17)
Пример.
Для
НСВ
,
плотность распределения которой имеет
вид
Определить коэффициент
;
Построить кривую распределения;
Найти
и построить её график;
Вычислить
Решение:
По (3.14)
Кривая распределения
По (3.13)
При
При
При
График
функции
Согласно второго свойства
3.5.2 Числовые характеристики нсв
Математическое
ожидание НСВ
с плотностью
- среднее значение НСВ
,
вычисляемое по формуле
(3.18)
или
(3.19)
Если
НСВ
принимает значение только из интервала
.
Мода
НСВ
значение
,
в которой
имеет максимум.
Медиана
НСВ
геометрически
– это абсцисса точки, в которой площадь,
ограниченная кривой распределения,
делится пополам.
Дисперсия
НСВ
(3.20)
или
(3.21)
СКО
НСВ
(3.22)
Начальный теоретический момент
-го
порядка НСВ
:
,
(3.23)
Центральный теоретический момент
-го
порядка НСВ
:
(3.24)
Пример.
Для
НСВ
,
функция распределения которой имеет
вид:
Найти числовые характеристики
,
,
,
.
Решение:
По (3.12) определим
при
,
при
,
при
,
По (3.19)
По (3.21)
По (3.22)
5.