6 Элементы корреляционного анализа

Корреляционным анализом называется совокупность методов для определения формы корреляционной зависимости, оценки корреляционной зависимости, оценки корреляционных характеристик и проверки гипотез о них по выборочным данным.

Для двух СВ X и Y корреляционная зависимость устанавливается по выборке объёма n связанных пар наблюдений ,из совместной ГСX и Y.

6.1 Корреляционное поле

Предположение о форме корреляционной зависимости можно сделать с помощью корреляционного поля. Корреляционное поле (диаграмма рассеяния) – представление в виде точки с координатами в декартовой системе координат каждой пары значений,исследуемой выборочной совокупности.

Корреляционные зависимости принято разделять на

- линейные (рис. 5.1);

- нелинейные (рис. 5.2).

Рис. 5.1 Линейная статистическая связь

Рис. 5.2 Нелинейная статистическая связь

6.2 Выборочный коэффициент корреляции

Точечная оценка тестоны линейной корреляционной взаимосвязи двух СВ X и Y, т. е. коэффициента корреляции, осуществляется с помощью выборочного коэффициента корреляции r_в по формуле

(6.1)

или

, n<30,

, n<30.

Пример. Установить силу корреляционной связи, если известны результаты наблюдений

x	1,00	1,50	3,00	4,50	5,00
y	1,25	1,40	1,50	1,75	2,25

Установим силу корреляционной связи. Для этого сначала произведём дополнительные вычисления:

;

.

Вычислим средние квадратические отклонения:

;.

Тогда

;

;

;

.

Полученные результаты подставляем в формулу (6.2) для вычисления выборочного коэффициента корреляции:

.

Выборочный коэффициент корреляции близок к единице, следовательно, корреляционная связь сильная.

При большом значение объёма выборки n одно и то же значение x_i может встретиться раз, y_i – раз, одна и та же пара чисел –раз. Поэтому данные выборки группируют и записывают в виде т. н. корреляционной таблицы (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Y						ny
	x1	…	xi	...	xk
y1		…		…
…	…	…	…	…	…	…
yj		…		…
…	…	…	…	…	…	…
ym		…		…
nx		…		…		n

Тогда

. (6.3)

Если ,и,являются равноотстоящими с соответствующими значениямиh₁ и h₂, то при расчете r_в целесобразно перейти к условным вариантам.

, ; (6.4)

, ,

где с₁ – начало нового отсчёта величины X;

с₂ – начало нового отсчёта величины Y;

h₁ – расстояние между соседними вариантами величины X;

h₂ – расстояние между соседними вариантами величины Y.

Тогда формула (6.3) примет вид

. (6.5)

Абсолютное значение r_в не превышает значение 1 ().

Пример. Установить силу корреляционной святи, если результаті наблюдений

Y	X					ny
	20	25	30	35	40
16	4	6	-	-	-	10
26	-	8	10	-	-	18
36	-	-	32	3	9	44
46	-	-	4	12	6	22
56	-	-	-	1	5	6
nx	4	14	46	16	20	n=100

Составляем корреляционную таблицу в условных вариантах. За ложные нули выбираем С₁=30 и С₂=36.

U	V					nu
	-2	-1	0	1	2
-2	4	6	-	-	-	10
-1	-	8	10	-	-	18
0	-	-	32	3	9	44
1	-	-	4	12	6	22
2	-	-	-	1	5	6
nv	4	14	46	16	20	n=100

Находим , :

;

.

Найдём вспомогательные величины , :

Вычисляем ,.

.

.

По формуле (6.5) находим выборочный коэффициент корреляции:

.

Значение r_в далее может быть использовано для определения интервальной оценки коэффициента корреляции r. Например, интервальная оценка r нормально распределённой ГС при имеет вид

. (6.6)

Известно, что если величины X и Y некоррелированы, то r=0 (Тема 4). Допустим, что . Т. к.r_в является оценкой, r то нельзя достоверно заключить, что r генеральной совокупности также отличен от 0.

Поэтому возникает необходимость проверки статистической гипотезы при конкурирующей гипотезе.

В качестве критерия для проверки основной гипотезы, если ГС (X, Y) распределена нормально, прнимают СВ

, (6.7)

которая при справедливости H₀ имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным n-2.

Критическое значение критерия определяем по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы. Наблюдаемое значение критерия определяем по формуле (6.7).

Если – нет оснований отвернутьH₀, что означает: r_в незначим, СВ X и Y не коррелированы.

Если –H₀ отвергают: r_в значим, СВ X и Y коррелированы.