1.4.2 Правила комбинаторики

Правило суммы – если объект может быть выбран из совокупности объектовспособами, а объект-способами, то выбрать либо, либоможноспособами.

Пример. В корзине белых шаров ичерных шаров. Из корзины вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми или черными.

Решение:

- событие «вытащили оба шара белые»

- событие «вытащили оба шара черные»

- событие «вытащили оба шара белые или оба шара черные»

Правило произведения – если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбратьспособами, то пара объектовив указанном порядке может быть выбранаспособами.

Пример. В партии из изделийбракованных. Из партии выбирают наугадизделий. Определить вероятность того, что среди этихизделий будет ровнобракованных.

Решение.

Общее число случаев равно , число благоприятных случаев, откуда вероятность интересующего нас события по (1.1)

(1.7)

Формула (1.7) получила название гипергеометрической формулы для расчета вероятностей.

5. Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Применяется для расчета вероятностей, если проводимые испытания имеют бесконечное число элементарных исходов.

Пусть отрезок составляет часть отрезка. На отрезокнаудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезокпропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно, т.е.

(1.8)

Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры. На фигурунаудачу брошена точка. Вероятность попадания брошенной точки на фигурупропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно, т.е.

(1.9)

Формулы (1.8), (1.9) определяют геометрическую вероятность. Аналогичную формулу можно получить и для трехмерного пространства.

Пример. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течении установленного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы.

Решение. Обозначим моменты прихода лица А через и лица В через. Для того, чтобы встреча произошла, должно выполниться условие. Изобразимикак координаты точки плоскости. В качестве единицы масштаба выберем минуту.

Возможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60, а благоприятствующие встрече исходы расположатся в заштрихованной области.

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата

6. Статистическая вероятность

Статистическая вероятность (частота, относительная частота) события – это отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний. Определяется следующей формулой для события

, (1.10)

где – число появлений события;

–общее число фактически проведенных испытаний.

Другими словами статистическая вероятность – это вероятность события, рассчитанная опытным путем. Используется в случае невозможности использования формулы (1.1), из-за трудностей представления результата испытания в виде совокупности элементарных равновозможных исходов.

Свойства статистической вероятности:

1-4. Аналогичны свойствам 1-4 теоретической вероятности.

5. Свойство устойчивости, состоящее в том, что при различных сериях опытов частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа, которое называют вероятностью.

Пример. Если бросать монету очень часто, то можно заметить, что отношение числа бросаний с выпадением «герба» к общему числу бросаний мало отличается от ½ и тем менее отклоняется от ½, чем больше совершено бросаний.

Число бросаний	Число появлений «герба»	Отношение
4040	2048	0,5069
12000	6019	0,5016
24000	12012	0,5005