- •«Спеціальні розділи математики»
- •«Теорія ймовірностей і математична статистика»
- •Специальные разделы метематики
- •1.4.2 Правила комбинаторики
- •2 Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Теорема умножения вероятностей
- •2.4 Следствия теорем сложения и умножения
- •2.4.1 Теорема о вероятности появления хотя бы одного события
- •2.4.2 Формула полной вероятности
- •3 Случайные величины
- •3.1 Общие сведения
- •3.2 Функция распределения случайной величины.
- •3.4.1 Формы закона распределения дискретной случайной величины
- •3.4.2 Числовые характеристики дсв
- •3.4.3 Основные (типовые) распределения дсв.
- •3.5 Непрерывные св
- •3.5.1. Формы представления закона распределения нсв
- •3.5.2 Числовые характеристики нсв
- •3.5.3 Основные (типовые) законы распределения нсв
- •4. Система двух св (двумерная св)
- •4.1. Общие сведения
- •4.2. Закон распределения системы двух св
- •4.2.1 Табличное представление закона распределения двумерной св
- •4.2.2 Интегральная функция распределения двумерной св
- •Числовые характеристики системы двух св
- •Зависимые и независимые св
- •Часть II Математическая статистика
- •5. Элементы математической статистики
- •5.1 Теория выборок
- •5.1.1 Способы формирования выборки
- •5.1.2 Статистическое распределение выбоки
- •5.1.3 Числовые характеристики выборки
- •5.2 Теория оценок
- •5.2.1. Точечные оценки.
- •5.2.2 Интервальные оценки
- •5.3 Теория проверки статистических гипотез
- •5.3.1 Виды статистических гипотез
- •5.3.2 Статистический критерий
- •5.3.3 Проверка статистической гипотезы о параметрах распределения
- •5.3.4 Проверка статистической гипотезы о законе распределения
- •6 Элементы корреляционного анализа
- •6.1 Корреляционное поле
- •6.2 Выборочный коэффициент корреляции
- •6.3 Выборочное корреляционное отношение (вко)
- •7. Элементы регрессионного анализа
- •7.1 Выборочные уравнения регрессии
- •7.2 Выборочное уравнение прямой линии регрессии
- •7.3 Выборочное уравнение нелинейной регрессии
- •8. Элементы дисперсионного анализа
- •8.1 Общие сведения
- •8.2 Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений.
- •8.3 Общая, факторная и остаточная дисперсии.
- •8.4 Применение метода дисперсионного анализа
3.4.3 Основные (типовые) распределения дсв.
СВ называется распределенной по биномиальному закону, если её возможные значения , а соответствующие вероятности рассчитываются по формуле Бернулли (2.22)
- число появления события в независимых испытаниях.
Биномиальное распределение зависит от двух параметров и.
Ряд распределения имеет вид:
0 |
1 |
2 |
… | ||
|
(3.7)
Пример. Проверить формулы (3.7) для примера рассмотренного выше.
Решение.
, ,
ДСВ называетсяраспределенной по закону Пуассона, если её возможные значения , а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона (2.24)
Распределение Пуассона зависит от одного параметра - среднее число появления событий прииспытаниях.
Ряд распределения имеет вид:
0 |
1 |
2 |
… | ||
|
(3.8)
Пуассоновское распределение является предельным для биномиального при ,, если.
Пример:
Устройство имеет 1000 элементов, которые работают независимо один от другого. Вероятность того, что элемент выйдет из строя во время работы . Определить среднее количество элементов, которые могут выйти из строя.
Решение.
На АТС на протяжении часа поступает в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что на протяжении минуты поступит не более 2-х вызовов.
Решение.
- среднее число
вызовов за одну минуту
ДСВ называется распределенной погипергеометрическому закону, если её возможные значения , а соответствующие вероятности определяются гипергеометрической формулой (1.7).
,
Гипергеометрическое распределение зависит от трех параметров .
Ряд распределения имеет вид:
0 |
1 |
2 |
… | ||
|
(3.9)
При гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкиек вероятностям, найденным по биномиальному закону.
Пример. В ящике имеется 10 однотипных деталей, из них 7 стандартных. Из ящика берут 4 детали. Построить ряд распределения ДСВ – числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение.
1 |
2 |
3 |
4 | |
;
;
;
;
ДСВ называется распределеннойпо равномерному закону, если ее возможные значения , а соответствующие им вероятности можно рассчитать по формуле
, .
Равномерное распределение зависит от одного параметра .
Ряд распределения имеет вид:
0 |
1 |
… | ||
… |
,
Пример. На связке 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить ряд распределения ДСВ числа ключей, которые пробуются для открытия замка.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
ДСВ имеетгеометрическое распределение, если ее возможные значения а вероятности этих значений.
Вероятности для ряда последовательных значенийобразуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем.
Ряд распределения имеет вид:
-
0
1
2
…
…
…
…
, (3.10)
Нередко рассматривают СВ , равную числу попыток до получения результата, включая удавшуюся попытку, т.н. геометрическое распределение начинающееся с «1», для которого
Ряд распределения СВ :
-
1
2
…
…
…
…
, (3.11)
Геометрическое распределение зависит от одного параметра .
Пример. Из корзины, в котором 3 черных и два белых шара последовательно вынимают шары до появления белого. Перед очередным извлечением шара, вынутый ранее шар возвращается в корзину. Построить ряд распределения ДСВ - числа вынутых белых шаров до появления черного и ДСВ- количество попыток до появления черного шара.
Решение:
0 |
1 |
2 |
… | |
… |
1 |
2 |
3 |
… | |
… |