2. Числовые характеристики системы двух св

Математическое ожидание системы двух СВ :

• для дискретной

(4.8)

• для непрерывной

Математическое ожидание составляющих системы двух СВ:

• если - ДСВ

(4.9)

• если - НСВ

(4.10)

Дисперсия системы двух СВ :

для дискретной для непрерывной

(4.11)

Дисперсия составляющих системы двух СВ :

• если - ДСВ

(4.12)

• если - НСВ

(4.13)

Начальный момент порядкасистемы двух СВ- МО произведения :

• для дискретной

(4.14)

• для непрерывной

В частности ,

Центральный момент порядкасистемы двух СВ - МО произведения отклонений соответственно -ой и-ой степеней:

для дискретной для непрерывной

(4.15)

В частности

, ,

,

Для характеристики связи между СВ и СВсистемы двух СВслужит смешанный центральный момент порядка, который получил названиекорреляционный момент (или ковариация) и обозначается .

Для дискретной : Для непрерывной :

(4.16)

Абсолютная величина не превышает среднего геометрическогои

Размерность равна произведению размерностей СВи.

Для характеристики связи между СВ и СВсистемы двух СВнезависимо от выбора единиц измерения СВислужиткоэффициент корреляции , равный отношению к произведению СКОи СКО

(4.17)

или

, где

- нормированные СВ с МО=0 и СКО=1.

Абсолютная величина не превышает единицы.

есть величина безразмерная. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между СВ и СВ. Если Х иY связаны линейной функциональной зависимостью вида , гдене случайны, то, где знак «+» или «-» берется в соответствии со знаком коэффициента.

Пример. Для дискретной двумерной СВ , заданной табличнорассчитать числовые характеристики.

Решение.

по (4.8)

и по (4.9)

по (4.11)

и по (4.12)

по (4.16)

верно

по (4.17)

верно.

2. Зависимые и независимые св

СВ и СВназываютсянезависимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина. В противном случае СВ и СВназываютсязависимыми.

Зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны.

Для непрерывных СВ условие независимости иможет быть записано в виде

(4.18)

где и- условные законы распределения СВи СВсоответственно.

Условным законом распределения СВ , входящей в систему называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что СВприняла определенное значение.

Условным законом распределения СВ , входящей в систему называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что СВ приняла определенное значение .

(4.19)

Или с учетом (4.7)

(4.20)

Условные дифференциальные функции обладают теми же свойствами, что и безусловные

Зная безусловный закон распределения одной составляющей и условный закон распределения второй, можно составить закон распределения системы

(4.21)

Из (4.18) следует, что для независимых СВ условные законы распределения равны их безусловным законам.

Тогда, учитывая (4.21), необходимое и достаточное условие независимости СВ и СВбудет иметь вид

(4.22)

Пример. системыимеет вид

Определить зависимы или независимы СВ и СВ.

Решение.

Разложив знаменатель на множители, имеем

Из того, что функция распалась на произведение двух функций, из которых одна зависит только от, а другая - только от, заключаем, чтоидолжны быть независимы.

Действительно, применяя (4.7)

т.е. и- независимы.

Для дискретных СВ формулы (4.19) имеют вид

(4.23)

Пример. Для дискретной двумерной СВ , заданной табличнорассчитать условный закон распределения составляющей.

Решение.

Условный закон распределения для рассчитываем по (4.23)

при

1+0+0=1

при

при

при аналогично

Важной числовой характеристикой условного распределения вероятностей является условное МО.

Условным МО дискретной СВ при(-определенное возможное значение) называют произведение возможных значенийна их условные вероятности.

Для НСВ (4.24)

Условное МО есть функция от

, (4.25)

которую называют функцией регрессии на.

Аналогично определяют условное МО СВ и функцию регрессии Х наY

Пример. Для дискретной двумерной СВ , заданной таблично, рассчитать условное МО СВ.

Решение.

при

при

Аналогично и

Функциональные зависимости (4.25) называются корреляционными (статистическими) зависимостями, что означает при возрастании одной СВ другая имеет тенденцию в среднем возрастать или убывать.

Зависимости (4.25) называются также регрессионными зависимостями или уравнениями регрессии.

Графическое изображение (4.25) на плоскости , если условное МО откладывают по оси ординат, называется линиями регрессии относительно и соответственно относительно .

Если линии регрессии являются прямыми, то СВ и СВназываютсялинейно коррелированными.

Эти прямые регрессии задаются следующими уравнениями:

(4.26)

где

- коэффициент корреляции

и называются прямыми среднеквадратической регрессии на и на соответственно, т.к. были определены с использованием метода наименьших квадратов.

Обе прямые проходят через точку - т.н. центр совместного распределенияи.

Коэффициенты иназывают коэффициентами регрессиинаинасоответственно.

Величины иназывают остаточной дисперсией СВотносительно СВи СВотносительно СВсоответственно; они характеризуют величину ошибки, которую допускают, предполагая что СВи СВи СВи СВсоответственно являются линейно коррелированными, если они таковыми не являются.

При остаточная дисперсия равна 0, что означает линейную функциональную зависимость СВи СВи совпадение обеих прямых регрессии (4.26).

При имеет местоположительная корреляция и: при возрастании одной СВ другая СВ имеет тенденцию в среднем возрастать.

При имеет местоотрицательная корреляция: при возрастании одной СВ другая СВ имеет тенденцию в среднем убывать.

При СВи СВназываютсянекоррелированными, иначе коррелированными.

Независимые случайные величины всегда некоррелированы.

Зависимые случайные величины могут быть коррелированными или некоррелированными, т.е. из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность.

Условие иявляется необходимым, но недостаточным условием независимости, т.е. условие независимости случайных величин является более жестким, чем условие некоррелированности.