2.4 Следствия теорем сложения и умножения

2.4.1 Теорема о вероятности появления хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

(2.18)

Если события имеют одинаковую вероятность, равную, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

(2.19)

Пример. Сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из n знаков. При передаче каждый знак искажается независимо от других с вероятностью . Для надежности сообщение дублируется (повторяется)раз. Найти вероятность того, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено ни в одном знаке и количество раз передачи сообщений, чтобы вероятность хотя бы одного не искаженного сообщения стала не меньше.

Решение.

Вероятность того, что символ не будет искажен , вероятность того, что одно сообщение не будет искажено, будет искажено по (2.19), вероятность того, что всесообщения будут искажены, вероятность того, что хотя бы одно изсообщений не будет искажено по (2.19)

Для определения значения k решим неравенство

2.4.2 Формула полной вероятности

Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события

(2.20)

События называются гипотезами.

Пример:

1. Имеются две корзины: в первой белых шаров ичерных; во второйбелых ичерных. Из первой корзины во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй корзины берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение.

Событие - появление белого шара из второй корзины

Гипотезы - переложен из первой корзины во вторую белый шар,

- переложен черный шар.

,

,

,

2. Имеются три одинаковые корзины. В первой белых шаров ичерных; во второйбелых ичерных, в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из корзин и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение.

Событие - появление белого шара

Гипотезы - выбор первой урны,

- выбор второй урны,

- выбор третьей урны.

, ,

3. Формула Бейеса (теорема гипотез)

Если до опыта вероятности гипотез были равны соответственно, а в результате опыта произошло событие, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле

(2.21)

Вероятности называются априорными (до опытными),

Вероятности - апостериорными (после опытными).

Формула Бейеса (2.21) дает возможность «пересмотреть» возможности (переоценить вероятности) гипотез с учетом результата испытания.

Пример. По каналу связи, на который могут действовать помехи, передается одна из двух кодовых комбинаций 111 или 000 с вероятностями 0,8 и 0,2 соответственно. Через помехи вероятность верного получения каждого из символов комбинации равна 0,6. Считается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. Определить, какая кодовая комбинация была отправлена, если получена – 000.

Решение.

Гипотезы - отправлена комбинация 111

- 000

По (2.20)

По (2.21)

Сравнив и , делаем вывод, что при полученной комбинации 000 вероятнее была отправлена комбинация 111.

3. Формула Бернулли

Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью, то вероятность того, что событие A произойдет в этихопытах ровнораз, выражаетсяформулой Бернулли

,(2.22)

Формула (2.22) выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей и применяется, как правило, если

Пример. Сообщение передается серией кодированных сигналов. В серии из десяти сигналов, вероятность получения каждого сигнала . Сообщение считается принятым, если из серии получено четыре сигнала. Какова вероятность принять переданное сообщение.

Решение.

Событие - сигнал принят,

Значение , при которомпревышает или, по крайней мере, не меньше, вероятности остальных возможных исходов испытания называютнаивероятнейшим, обозначают и определяют из двойного неравенства

(2.23)

При этом, если

- дробное, то существует одно наивероятнейшее число ;

- целое, то существует два наивероятнейших числа: и;

- целое, то .

Пример. Вероятность того, что в течении одного дня на предприятии будет перерасход воды равна . Определить наиболее вероятное число дней в течении месяца (30-ти дней) с нормальным расходом воды.

Решение.

,

По (2.23)

3. Формула Пуассона

Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятностьпоявления событияв каждом испытании постоянна и мала, и, то вместо (2.22) используют асимптотическую формулу Пуассона

(2.24)

Пример. Радиоприбор состоит из 1000 элементов, которые работают независимо друг от друга. Каждый из них может выйти из строя с вероятностью 0,002. Вычислить вероятность того, что во время работы прибора из строя выйдут от 3 до 6 элементов.

Решение.

3. Локальная формула Лапласа

Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятностьпоявления событияв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а так же, то вместо (2.22) используют асимптотическую локальную формулу Лапласа

, (2.25)

.

Функция называется функцией Гаусса и имеет свойства:

- четности ;

- если , то;

- табулирована на отрезке .

Пример. В партии резисторов 75% изделий не имеют дефектов. Из партии случайным образом отбирают 400 резисторов. Вычислить вероятность того, что 290 штук среди отобранных не будет иметь дефектов.

Решение.

3. Интегральная формула Лапласа

Вероятность того, что событие произойдет внезависимых испытаниях отдораз, если,и, вычисляется по формуле

, (2.26)

,

Функция называется функцией Лапласа и обладает свойствами:

- нечетности ;

- если , то;

- монотонно возрастает (если , то);

- табулирована на отрезке .

Пример. Для условия предыдущего примера вычислить вероятность того, что среди отобранных резисторов не менее (не более) 290 штук не будут иметь дефектов.

Решение.

,

,

,

,