5.3 Теория проверки статистических гипотез

5.3.1 Виды статистических гипотез

Статистической называется гипотеза (предположение) о генеральной совокупности, которая проверяется на основании выборочных данных.

Статистические гипотезы делятся на:

- гипотезы о виде предполагаемого распределения;

- гипотезы о предполагаемой величине параметра известного распределения.

Пример.

1. Генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.

2. Дисперсии двух нормально распределённых генеральных совокупностей равны между собой.

Статистические гипотезы также разделяют на:

- нулевую (основную) H₀, в качестве которой выступает выдвинутая гипотеза;

- конкурирующую (альтернативную) H₁, в качестве которой выступает гипотеза, противоречащая H₀.

Пример.

H₀ состоит в предположении, что математическое ожидание a нормального распределения равно 10, тогда H₁, в частности, может состоять в предположении .

Классификация статистических гипотез выполняется и по количеству предположений в ней:

- гипотеза, содержащая одно предположение, называется простой;

- гипотеза, которая состоит из конечного или безконечного числа простых гипотез, называется сложной.

Пример:

1. Если распределение нормальное, – известно, то гипотезаa=3 является простой.

2. Если распределение нормально, – неизвестно, то гипотезаa=3 является сложной.

Основная гипотеза H₀ может быть правильной или неправильной. Т. к. вывод о правильности гипотезы H₀ выполняется по результатам выборки, то всегда существует риск принять неправильное решение. Таким образом, в результате могут быть допущены ошибки двух родов:

- ошибка первого рода (риск производителя), состоящая в том, что будет отвергнута H₀, когда она правильная;

- ошибка второго рода ( риск покупателя), состоящая в том, что будет принята H₀, когда она неправильная.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято называть уровнем значимости и обозначать . Наиболее частопринимают равным0,05 или 0,01.

Вероятность совершить ошибку второго рада обозначают через , вероятность того, что не будет допущена ошибка второго рода равнаи называетсямощностью критерия.

5.3.2 Статистический критерий

Статистическим критерием (или просто критерием) называют специально подобранную случайную величину K, точное или приближённое распределение которой известно, для проверки H₀.

Для каждого конкретного значения H₀ величина K может обозначаться разными буквами. Например, U или, Z если она распределена нормально, F и – по закону Фишера – Снедекора,T– по закону Стьюдента,– по закону «хи квадрат» и т. д.

После выбора определённого критерия множество всех его возможных значений пересекаются на два непересекающихся подмножества:

- критическая область – совокупность значений критерия, при котором H₀ отвергают;

- область принятия гипотезы (область допустимых значений) – совокупность значений критерия, при котором H₀ принимают.

Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотез, называют критическими точками K_кр.

Различают следующие критические области:

- правосторонняя, которая определяется неравенством K > K_кр, где

K_кр > 0;

- левосторонняя, определяемая неравенством K < K_кр, где K_кр < 0;

- двусторонняя, определяемая двойным неравенством K_кр1 < K < K_кр2, где K_кр2 > K_кр1. Если критические точки K_кр1 и K_кр2 симметричны относительно 0, неравенство можно представить как -K_кр < K < K_кр или , гдеK_кр > 0.

Отыскание критической области сводится к нахождению соответствующих критических точек. Для этого задаются уровни значимости .

Критическую точку правосторонней области находят исходя из требования, чтобы при условии справедливости H₀ вероятность того, что критерий K примет значение, большее K_кр была равна принимаемому уровню значимости:

. (5.36)

Критическую точку левосторонней области находят исходя из требования, чтобы при условии справедливости H₀ вероятность того, что критерий K примет значение, меньшее K_кр была равна принимаемому уровню значимости:

. (5.36)

Критические точки двусторонней критической области находят исходя из требования, чтобы при справедливости H₀ сумма вероятностей того, что критерий примет значение, меньшее K_кр1 или большее K_кр2, была равна принятому уровню значимости:

(5.38)

или

,

если K_кр1 и K_кр2 симметричны относительно 0.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую одному из требований (5.36) – (5.38) в зависимости от вида области.

Критическая область тем лучше, чем меньше и. Но при заданном объёме выборки уменьшать одновременноиневозможно, т. к., если уменьшать,будет возрастать. Поэтомуивыбирают для каждой конкретной задачи в зависимости от «тяжести последствий» ошибок. Единственный способ одновременного уменьшенияисостоит в увеличении объёма выборки.

Когда критическая точка найдена, по выборочным данным вычисляют наблюдаемое значение критерия K_набл. Если K_набл принадлежит критической области – H₀ отвергают, если K_набл принадлежит области принятия гипотез – H₀ не отвергают

- для левосторонней области, если

;

- для правосторонней, если

;

- для двусторонней, если

.