5.1.1 Способы формирования выборки

Все способы отбора объектов из генеральной совокупности в выборку подразделяются на две группы:

1. Отбор без разделения генеральной совокупности на части, в результате которого формируется простая выборка. Простой называется выборка, для которой объекты исследования выбираются по одному непосредственно из генеральной совокупности. Простая выборка может быть повторной или бесповторной.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части, что приводит к формированию сложной выборки. Сложной называется выборка, для которой генеральная совокупность сначала делится на части, из которых затем выбирваются объекты исследования. Сложные выборки делятся на:

- механические;

- типические;

- серийные;

- комбинированные.

Механической называется выборка, для которой генеральную совокупность делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.

Пример. Для отбора 20% изготовленных станком деталей выбирают каждую пятую деталь; для отбора 5% – каждую двадцатую.

Типической выборкой называется выборка, для которой объекты выбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой её «типической» части.

Пример. Если одинаковые детали изготавливаются на нескольких станках, то отбор производится из продукции каждого станка в отдельности.

Серийной называется выборка, для которой объекты из генеральной совокупности отбирают не по одному, а «сериями» и подвергают сплошному обследованию.

Пример. Если одинаковые изделия изготавливаются большой группой станков, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

На практике обычно применяют комбинированные выборки, отбор в которые осуществляется сочетанием разных способов.

5.1.2 Статистическое распределение выбоки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ – n₂ раз, …, x_k – n_k раз.

Наблюдаемые значения x_i,называются вариантами, последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Числа наблюдений n_i, называются частотами, сумма частот составляет объём выбоки

, (5.1)

где n – объём выборки,

а отношение n_i к n – относительными частотами

. (5.2)

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант в возрастающем порядке и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно также записать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Статистическое распределение можно представить:

1) таблично;

2) графически;

3) аналитически.

Табличное представление статистического распределения имеет вид таблицы, первый ряд которой содержит вариационный ряд или последовательность интервалов, второй – перечень соответствующих частот или относительных частот.

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

xi	x1	x2	…	xk
wi	w1	w2	…	wk

xi –xi+1	x1 –x2	x2 –x3	…	xk –xk+1
ni	n1	n2	…	nk

Графическое представление статистического ряда распределения может иметь вид:

1. Полигона, если вариационный ряд дискретный;

2. Гистограммы, если вариационный ряд интегральный.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки (x₁; n₁), (x₂; n₂), …, (x_k; n_k) в декартовой системе координат, где на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i.

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки (x₁; w₁), (x₂; w₂), …, (x_k; w_k) в декартовой системе координат, где на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты w_i.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной

,

а высоты равны отношению , т. н.плотность частоты.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна n_i, площадь гистограммы частот – объекту выборки n.

Гистограмма относительных частот ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению , т. н.плотность относительной частоты.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна w_i, площадь гистограммы относительных частот – единице.

Аналитическое представление статистического распределения выборки называется эмпирической функцией распределения.

Эмпирическая функция распределения – функция , определяющая для каждого значенияx относительную частоту события .

, (5.3)

где n_x – число вариант, меньших x ,

n – объём выборки.

Свойства :

1. Значения принадлежат отрезку [0; 1];

2. – неубывающая функция;

3. Если x₁ – наименьшая варианта, то при. Еслиx_k – наибольшая варианта, то при.

График называетсякумулятой.

Пример 1. Из 100 транзисторов в среднем бывает два бракованных. Проверили десять партий по 100 транзисторов в каждой. Отклонение количества бракованных транзисторов от среднего заданы таблицей

Номер партии	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Отклонение	-1	0	1	1	-1	1	0	-2	2	1

Составить закон распределения выборки и построить её эмпирическую функцию распределения.

Закон распределения заданной выборки имеет вид:

xi	-2	-1	0	1	2
ni	1	2	2	4	1
wi	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Наименьшая варианта равняется -2, следовательно,

если .

Значение , а именно

наблюдалось 1 раз, следовательно

если .

Значение , а именно,наблюдалось 1+2=3 раза, следовательно

если .

Значение , а именно,,наблюдалось 1+2+2=5 раз, следовательно

если .

Значение ,а именно,,,наблюдалось 1+2+2+4=9 раз, следовательно

если .

–наибольшая варианта, следовательно,

если .

Искомая эмпирическая функция распределения имеет вид

Пример 2. Построение гистограммы частот выборки рассмотрен в учебнике В. Е. Гмурман « Теория вероятностей и математическая статистика», стр. 196.

.