3 Случайные величины

3.1 Общие сведения

Случайной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно из своих возможных значений, заранее неизвестное.

Обозначают случайные величины большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, - случайная величина,ее возможные значения.

Различают случайные величины

-дискретные;

-непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, которая с определенными вероятностями принимает конечное или бесконечное число отдельных, изолированных возможных значений.

Непрерывной СВ называется СВ, которая может принимать все (бесконечно много) значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если известен ее закон распределения.

Закон распределения случайной величины – это всякое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями этой величины и соответствующими им вероятностями.

Формы представления закона распределения случайной величины:

1. ряд распределения;

2. многоугольник распределения;

3. аналитическая формула;

4. функция распределения;

5. плотность распределения.

3.2 Функция распределения случайной величины.

Наиболее общей и полной формой закона распределения является функция распределения.

Функция распределения случайной величины - вероятность того, что случайная величинапримет значение меньшее, чем

.

Геометрически это означает, что F(x) является вероятностью того, что СВ примет значение которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Функция распределения является безразмерной.

Общие свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :

2. - неубывающая функция, т.е., если.

Из этого свойства следует, что вероятность попадания случайной величины в интервал (случайная величина примет значение из интервала) равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

при ,

при .

Если возможные значения случайной величины расположены на всей числовой оси , то

или

или .

3. Числовые характеристики случайных величин

Случайная величина может быть описана частично с помощью числовых характеристик.

Числовые характеристики – наиболее существенные особенности распределения.

Различают:

1. Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Математическим ожиданием (МО) илислучайной величины называется ее среднее значение. имеет размерность СВ.

МО обладает свойствами:

1. МО постоянной величины равно самой постоянной:.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО: .

3. МО произведения двух независимых случайных величин равна произведению их МО .

МО произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Например, для трех СВ .

Произведение двух независимых случайных величин и- это случайная величина, возможные значения которой равны произведениям возможных значений СВна возможные значения СВ.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависим от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимые.

Несколько СВ взаимно независимы, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.

4. МО суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых .

МО суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Например, для трех СВ .

Суммой случайных величин иназывают СВ , возможные значения которой равны суммам возможных значений СВс возможными значениями СВ.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение

Медианой случайной величиныназывается такое ее значение, для которого, т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше.

2. Характеристики рассеяния (разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания): дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия илислучайной величины - это математическое ожидание квадрата разности между случайной величинойи ее математическим ожиданием.

Разность между СВ и ее МО называетсяотклонением или центрированной СВ.

МО отклонения равно 0. .

Размерность равна квадрату СВ.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0: .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводим его в квадрат

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин. Например, для трех СВ

Дисперсия суммы постоянной величины и СВ равна дисперсии СВ

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсии

Среднее квадратическое отклонение или случайной величины - это положительное значение корня квадратного из дисперсии. Предназначена для более наглядного представления характеристики «рассеяния», т.к. имеет размерность случайной величины в отличие от дисперсии. Может быть также использована для ориентировочной оценки диапазона возможных значений СВ. Диапазон практически возможных значений СВне выходит за пределы

,

т.н. правило трех сигм.

3. Начальный теоретический момент -го порядкаили случайной величины - математическое ожидание-ой степени этой случайной величины. Начальный момент нулевого порядка равен .Начальный момент первого порядка (первый момент) есть, МО

4. Центральный теоретический момент -го порядкаили случайной величины - математическое ожидание-ой степени отклонения (разности между случайной величинойи ее математическим ожиданием).

Центральный момент 0-го порядка равен 1.

Центральный момент 1-го порядка равен 0.

Центральный момент 2-го порядка есть дисперсия.

Центральный момент 3-го порядка служит для характеристики ассиметрии относительно МО (или «скошенности» распределения) и используется в формуле для расчета коэффициента ассиметрии (или просто ассиметрии).

Центральный момент 4-го порядка служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. «островершинности» или «плосковершинности» распределения, который называется эксцесс

Центральные моменты выражаются через начальные

3. Дискретные случайные величины (ДСВ)

Дискретной называется случайная величина, которая с определенными вероятностями принимает конечное или бесконечное число отдельных, изолированных возможных значений.

Пример:

1. Число очков, выпавших при бросании игральной кости.

2. Количество раз подбрасываний монеты до выпадения «герба».