2 Основные теоремы теории вероятностей

2.1 Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий иназывается событие , состоящее в совместном появлении событий и .

Произведением нескольких событий ,,…называется событие , состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример:

1. Если событие - появление туза при вынимании карты из колоды, событие- появление карты бубновой масти, то событиеесть появление туза бубновой масти.

2. Если по мишени производится три выстрела и рассматриваются события - промах при первом выстреле,- промах при втором выстреле,- промах при третьем выстреле, то событиесостоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.

Теорема умножения 1

Вероятность произведения двух событий иравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

, (2.1)

если в качестве первого события взять

, (2.2)

если в качестве первого события взять .

, - условные вероятности событийисоответственно.

Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленную в предположении, что событиеуже наступило.

Пример. Студент знает 20 билетов из 30. Он тянет билет шестым. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен (событие ), если первых 5 человек вытащили 5 известных ему билетов (событие).

Решение.

Из формулы (2.1) можно получить формулу для вычисления условной вероятности

(2.3)

Формула (2.3) может быть использована при условии .

Пример. Проверить формулу (2.3) для предыдущего примера.

находим по (1.7) при ,,,.

определяем по (1.7) при ,,,.

Два события иназываютсянезависимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого, т.е. условная вероятность события равна его безусловной вероятности или, условная вероятность событияравна его безусловной вероятности

(2.4)

.

Если событие не зависит от события, то и событиене зависит от события.

Два события иявляютсязависимыми, если

или (2.5)

Если событие зависит от события, то и событиезависит от события.

Пример. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события

- появление туза;

- появление карты красной масти;

- появление бубнового туза;

- появление десятки.

Зависимы или независимы пары событий и,и,и?

Решение.

Для пары и

справедливо условие (2.4). Значит и- независимые.

Для пары и

справедливо (2.5). События изависимы.

Для пары и, без проверки условий (2.4), (2.5) можно сказать, что события зависимы, т.к. они несовместны. Для несовместных событий (по определению) появление одного исключает появление другого, т.е. обращает в нуль его вероятность.

Несколько событий называютсяпопарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Несколько событий называютсянезависимыми в совокупности, если каждые 2 из них независимы и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие из теоремы умножения 1

Для независимых событий и(2.1) имеет вид

(2.6)

Пример:

1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара (события и). Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение.

. По (2.1)

2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.

Решение.

По (2.6)

Теорема умножения 2

Вероятность произведения нескольких событий ,, …,равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже появились

(2.7)

Следствие из теоремы умножения 2.

Вероятность произведения нескольких событий ,, …,, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

(2.8)

Пример:

1. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Из урны вынимают подряд 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара будут разноцветными.

Решение.

- вытащить первым белый шар;

- вытащить вторым черный шар;

- вытащить третьим синий шар.

По (2.7)

2. Те же условия, но после каждого

вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.

Решение.

По (2.8)

2. Теорема сложения вероятностей

Суммой двух событий

и называется событие , состоящее в появлении события, события, или обоих вместе. Для несовместных событий- появление либо, либо, т.е. только одного из двух событий.

Суммой нескольких событий называется событие ,состоящее в появлении хотя бы одного из (для несовместных событий – только одного).

Пример:

1. Если - попадание в цель при первом выстреле, событие- попадание в цель при втором выстреле, то событиеесть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

2. Если опыт состоит в пяти выстрелах

по мишени и рассматриваются события

- ни одного попадания;

- ровно одно попадание;

- ровно два попадания;

- ровно три попадания;

- ровно четыре попадания;

- ровно пять попаданий;

то есть событие «не более двух попаданий»;

а - событие «не менее трех попаданий»

Теорема сложения 1

Вероятность суммы двух совместных событий иравна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

(2.10)

Если и- зависимые события, то (2.10) принимает вид

(2.11)

Если и- независимые события, то (2.10) имеет вид.

(2.12)

Вероятность суммы двух несовместных событий иравна сумме вероятностей

этих событий

(2.13)

Формулу (2.13) можно рассматривать как частный случай (2.10), т.к. для несовместных событий .

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго стрелка соответственно равны.

,. Найти вероятность попадания хотя бы одним стрелком при одновременном выстреле.

Решение.

- попадание первого стрелка;

- попадание второго стрелка.

По (2.12)

, т.к.

и являются совместными и независимыми

Теорема сложения 2

В виду громоздкости общей формулы расчета вероятности суммы совместных событий, рассмотрим частный случай теоремы сложения для трех событий ,,(2.14)

Для нескольких несовместных событий вероятность их суммы равна

(2.15)

Пример. В партии из изделийизделий бракованных. Для контроля из партии наугад берутизделий. Какова вероятность того, что среди них будет не большебракованных (событие)?

Решение.

- среди взятых на проверку изделий ни одного бракованного;

- среди взятых на проверку изделий одно бракованное;

…

- среди взятых на проверку изделий бракованных изделий.

Тогда . Т.к., , …, - несовместные события, то по (2.15).

Вероятность события вычисляем по (1.7):

, ,

Т.о.

Следствие из теоремы сложения 2

Если события образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

(2.16)

Пример

Для АТС вероятность появления вызова с квартирного телефона , с таксофона -. Остальные вызовы дают учрежденческие телефоны. Найти вероятность появления учрежденческого вызова.

Частный случай следствия из теоремы сложения 2

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

(2.17)

Обычно обозначают ,, тогда (2.17) примет вид

3. Применение теорем умножения и сложения

На практике сравнительно редко встречаются задачи, в которых нужно применять только теорему умножения или только теорему сложения вероятностей. Обычно эти теоремы приходится применять совместно. При этом, как правило, событие, вероятность которого требуется определить, представляется в виде суммы и (или) произведений нескольких несовместных (совместных) событий.

Пример. По мишени стреляют 3 стрелка. Вероятность попадания для них ,,. Найти вероятность следующих событий:

B – ни одного попадания;

C – только 1 попадание;

D – только 2 попадания;

E – только 3 попадания;

F – хотя бы одно попадание.

Решение.

по (2.8), т.к. события - независимы в совокупности.

по (2.17)

Аналогично

События В, С, D, Е образуют полную группу попарно несовместных событий. Проверим (2.16)

Однако такой путь решения задачи слишком сложен. Здесь проще от прямого события F перейти к противоположному событию – ни одного попадания – что соответствует событию B.

Поэтому

На примере вычисления проиллюстрирован принцип целесообразности применения противоположных событий в теории вероятностей – если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей переходить к противоположному событию.