7.3 Выборочное уравнение нелинейной регрессии

Функции регрессии Y на X могут иметь вид, например, параболической корреляции второго порядка

, (7.10)

параболической корреляции третьего порядка

,

где A, B, C, D – неизвествные параметры.

Определить неизвестные параметры можно МНК. Для уравнения (7.9) неизвестные параметры A, B, C находят из решения системы линейных уравнений:

Пример. В. Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», стр. 276.

8. Элементы дисперсионного анализа

8.1 Общие сведения

Дисперсионный анализ применяют, чтобы установить:

- оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор , который имеетуровнейна изучаемую величину;

- являются ли однородными несколько совокупностей, т.к. однородные совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию.

Суть дисперсионного анализа состоит в сравнении «факторной дисперсии» (т.е. межгрупповой), обусловленной воздействием фактора, и «остаточной дисперсии» (т.е. внутригрупповой), порождаемой случайными причинами по критерию Фишера-Снедекора.

Различают дисперсионный анализ:

- однофакторный, если исследуется влияние одного фактора на изучаемую СВ;

- многофакторный, если исследуется воздействие нескольких факторов.

Рассмотрим случай однофакторного дисперсионного анализа, когда на изучаемую величину влияет только один фактор, который имеетпостоянных уровней.

8.2 Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений.

Пусть количество наблюдений на каждом из уровней одинакова и равна, тогда общее число наблюдаемых значенийпризнакаравно.

Индекс - номер испытания

- номер фактора

Результаты наблюдений представлены в таблице.

Номер испытания	Уровни фактора
			…
1 2 . . .	. . .	. . .	… … . . . …	. . .
Групповая средняя			…

Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней ,

(8.1)

Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, характеризующая рассеяние «между группами»

(8.2)

Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая характеризует рассеяние «внутри групп»

(8.3)

(8.4)

Формулы (8.1) – (8.2) можно преобразовать к формулам, более удобным для расчетов

(8.5)

(8.6)

где

.

Для упрощения вычислений можно воспользоваться условными вариантами , где примерно равно общей средней.

Тогда (8.5) - (8.6) примут вид

(8.7)

(8.8)

где ,

Пусть число испытаний на различных уровнях различно, а именно: произведено испытаний на уровне,- на- на.

В этом случае

(8.9)

где ,

,

- объем выборки

Или

(8.10)

где ;

;

, (8.11)

(8.12).

8.3 Общая, факторная и остаточная дисперсии.

Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получим общую, факторную и остаточную дисперсии.

Если число испытаний на каждом уровне одинаковое

(8.13)

Если число испытаний на каждом уровне различно

(8.14)