10.5. Обчислення|підрахунок| емпіричної середньої квадратичної похибки| за поправками, одержаними|одержувати| із|із| зрівнювання.

Як правило, виміряні величини визначені за умови:

,

тобто є підстава припускати, що на їх основі можна отримати спроможну і незміщену оцінку середньої квадратичної похибки m. Проте, на підставі цієї ж умови і здорового глузду можна стверджувати, що сума квадратів дійсних похибок завжди буде більша суми квадратів отриманих поправок. Тоді справедлива нерівність деΔ – дійсні похибки. Розділивши цю нерівність на n, отримаємо:

Отже, величина буде спроможною, але зміщеною оцінкоюm. Для того, щоб вона виявилася незміщеною, необхідно знаменник правої частини зменшити на деяку, поки невідому, величину u.

Тоді справедливо записати емпіричну середню квадратичну похибку в наступному вигляді:

В даному випадку, задача зводиться до визначення невідомої величини u.

Проаналізуємо вираз (10.28) і перш за все, відзначимо, що загальне число вимірів n не може бути менше числа необхідних вимірів, тобто . Звідси витікає, щоu не може бути більше t, оскільки при знаменник у формулі (10.28) дорівнюватиме нулю. Отже .

Зробимо припущення, що . Призавдання зрівнювання не виникає, поправки,,…,, отже і, що суперечить здоровому глузду, оскільки.

Це дає підставу,|основу| формулу (10.28) записати у виді:

Наведений доказ рівності (10.29) заснований на припущеннях і евристичних міркуваннях тому не є|з'являється| суворим|суворим|. Існує і строгий|суворий| доказ, який є громіздким і в теперішньому курсі не розглядається|розглядує|.

З тієї причини, що емпірична середня квадратична похибка| m найчастіше визначається із невеликої кількості вимірів, її надійність визначає середня квадратична похибка, яка обчислюється за формулою:

Таким чином, на основі умов мінімізації суми квадратів поправок розглянутий|розглядувати| наближений спосіб оцінювання їх точності за результатами зрівнювання.

10.6. Середня квадратична похибка виміряних|виміряти| величин після|потім| зрівнювання

У попередньому підрозділі знайдено| співвідношення (10.28), яке дозволяє оцінювати значення середньої квадратичної похибки| m виміряних|виміряти| величин до зрівнювання. Виникає справедливе питання. Чи зміниться ця величина після|потім| зрівнювання?

Щоб|аби| відповісти на це питання приведемо доведення теореми відоме з|із| теорії похибок.

Теорема 10.1. Середнє значення відношення квадрата середньої квадратичної похибки після зрівнювання до квадрата середньої квадратичної похибки до зрівнювання, тобто її середнє зменшення, обумовлене зрівнюванням системи виміряних величин способом найменших квадратів, дорівнює відношенню числа необхідних вимірів до всіх вимірів, тобто:

де – середня квадратична похибка виміряних величин після зрівнювання,t – число необхідних вимірів, n – число всіх вимірів.

Доказ

Для зручності і простоти доведення теореми запроваджуватимемо обмеження на кількість невідомих. Вважатимемо|гадатимемо|, що система лінеаризованих рівнянь поправок (10.7) містить|утримує| три невідомих і n рівнянь. Тоді в матричному вигляді систему рівнянь поправок можна записати наступним чином|виді|:

, (10.32)

де, – зрівняні значення вільних членів.

Представимо|уявлятимемо| співвідношення|ставлення| (2.31) у виді:

де = .

Значення – функції поправок. Знайдемо формульні співвідношення доданків,, формули (10.33). Для цього продиференціюємо початкові рівняння поправок (10.7) по зміннихі враховуючи результати доведення основної теореми похибок і раніше отримані формули (10.19) і (10.20) представимо середні квадратичні похибки у вигляді добутку Якобіанів:

Розділимо праву і ліву частину отриманого рівняння на і проведемо необхідні операції з Якобіанами. Крім того, враховуючи рівноточність вимірів отримаємо:

(a)

Аналогічно, для , отримаємо:

(b)

(c)

(d)

Підставляючи (а), (b), (c) і (d) у формулу (10.33) підсумуємо добутки ,,виносячи за дужки вагові коефіцієнти. В результаті знайдемо шукане значення:

(10.35)

.

Із властивостей операцій над матрицями в лінійній алгебрі відомо, що

,

де Е – одинична матриця, у якої діагональні елементи дорівнюють 1, а недіагональні – 0. У формулі (10.35) суми добутків в круглих дужках, враховуючи (10.13) і (10.21) є добутками i-го рядка матриці А на i-й стовпець матриці. Отже, вони відповідають діагональним елементам матриці Е, які дорівнюють 1. Тоді на підставі (10.31), (10.33) і (10.35) можна записати:

При трьох невідомих і поширюючи отриману рівність на будь-яке число невідомих, остаточно отримаємо:

що і потрібно було довести (див. формулу 10.31).

Таким чином, зрівнювання методом найменших квадратів підвищує в середньому точність результатів вимірів.