- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства
- •Математична обробка геодезичних вимірів|вимірів|
- •Харків хнамг 2012
- •Зміст|вміст|
- •1. Основні відомості про технологію навчання|вчення|
- •1.1. Параметри технології навчання|вчення| і ієрархія її цільових установок
- •1.2. Зміст|вміст| навчального модуля
- •1.3. Мережева|мережна| модель технології навчання
- •1.4. Термінологічна модель змісту|вмісту| навчального матеріалу
- •1.5. Схема технології навчання|вчення| як складова частина структурно-логічної схеми підготовки фахівця
- •1.6. Особливості вивчення навчального матеріалу
- •2. Основні відомості з метрології
- •2.1. Витоки математичного оцінювання геодезичних вимірів.|вимірів| Видатні науковці
- •2.2. Фізичні величини
- •2.3. Вимірювання|виміри| і їх класифікація
- •2.4. Похибки вимірів і їх класифікація
- •2.5. Властивості випадкових похибок
- •Додаткові джерела інформації
- •3. Кількісні критерії оцінювання точності вимірів
- •3.1. Моделі розподілу випадкових похибок вимірів|вимірів|
- •0 «Трикутник розподілу» Сімпсона р -1
- •3.2. Моделі розподілу систематичних похибок вимірів|вимірів|
- •3.3. Кількісні критерії оцінювання точності ряду рівноточних вимірів однієї величини
- •Додаткові джерела інформації
- •4. Оцінка точності функцій безпосередньо виміряних величин
- •4.1. Основна теорема теорії похибок
- •4.2. Застосування|вживання| основної теореми для розрахунку гранично допустимої нев'язки|нев'язки|
- •4.3. Апостеріорна оцінка точності функцій виміряних|виміряти| величин
- •Додаткові джерела інформації
- •5. Математична обробка ряду рівноточних результатів вимірів однієї і тієї ж величини
- •5.1. Проста арифметична середина і її властивості
- •5.2. Формула розрахунку емпіричної середньої квадратичної| похибки
- •5.3. Послідовність математичної обробки ряду|лави| рівноточних| вимірів|вимірів| однієї і тієї ж величини
- •Додаткові джерела інформації
- •6. Нерівноточні виміри
- •6.1. Вага як спеціальна міра відносної точності результатів нерівноточних| вимірів
- •6.2. Вага функцій результатів нерівноточних| вимірів|вимірів|
- •6.3. Загальна|спільна| арифметична середина і її властивості
- •6.4. Формула емпіричної середньої квадратичної| похибки одиниці ваги
- •6.5. Послідовність математичної обробки ряду нерівноточних|лави| | вимірів|вимірів| однієї і тієї ж величини
- •Додаткові джерела інформації
- •7. Подвійні виміри|виміри|
- •7.1. Загальні|спільні| положення
- •7.2. Оцінка точності за різницями подвійних рівноточних| вимірів|вимірів|
- •7.3. Оцінка точності за різницями подвійних нерівноточних| вимірів
- •Додаткові джерела інформації
- •Короткі відомості про залежні випадкові величини і залежні похибки
- •8.1. Види залежностей
- •2. Стохастична|самодифузія| залежність
- •3. Відсутність залежності
- •8.2. Кількісні характеристики лінійної стохастичної|самодифузія| залежності
- •8.3. Залежні випадкові похибки в геодезії
- •9. Зрівнювання результатів геодезичних вимірів методами математичної статистики
- •9.1. Сутність задачі зрівнювання результатів вимірів в геодезії
- •9.2. Два підходи до розв’язання задачі зрівнювання геодезичних побудов|шикувань|
- •9.3. Сутність методу найменших квадратів і обґрунтування його використання у зрівнюванні геодезичних побудов|шикувань|
- •10. Параметричний спосіб зрівнювання геодезичних побудов |шикувань|10.1. Постановка задачі. Рівняння поправок
- •10.2. Мінімум Нормальні рівняння
- •10.3. Матричне представлення параметричного методу зрівнювання. Розв'язання нормальних рівнянь
- •10.4. Оцінка точності зрівняних|урівнювати| значень невідомих геодезичних вимірів
- •10.5. Обчислення|підрахунок| емпіричної середньої квадратичної похибки| за поправками, одержаними|одержувати| із|із| зрівнювання.
- •10.6. Середня квадратична похибка виміряних|виміряти| величин після|потім| зрівнювання
- •10.7. Зрівнювання і оцінка точності при нерівноточних| вимірах|вимірах|
- •10.8. Приклади|зразки| складання рівнянь поправок для різних видів геодезичних вимірів|вимірів| і мереж|сітей|
- •11. Корелатний спосіб зрівнювання
- •11.1. Постановка задачі. Умовні рівняння
- •11.2. Знаходження умовного мінімуму методом найменших квадратів. Нормальні рівняння корелат і їх розв’язання
- •11.3. Оцінка точності функцій зрівняних величин
- •11.4. Обчислення середніх квадратичних похибок емпіричних і зрівняних величин поправок
- •11.5. Зрівнювання і оцінка точності нерівноточних вимірів
- •11.6. Застосування метода тріангуляції для зрівнювання виміряних величин, пов’язаних умовами
- •11.6.1 Геодезичний чотирикутник
- •11.6.2 Центральна система
- •11.6.3 Вставлення в жорсткий кут
- •11.6.4 Ланцюг трикутників між двома сторонами, довжини і дирекційні кути яких відомі
- •12. Зрівнювання системи виміряних величин, пов’язаних умовами, з додатковими невідомими
- •Тезаурус
- •Розподіли випадкових величин
- •Похідні функцій
- •Ряд Тейлора
- •Математична обробка геодезичних вимірів |вимірів|
5.3. Послідовність математичної обробки ряду|лави| рівноточних| вимірів|вимірів| однієї і тієї ж величини
Перш ніж безпосередньо підійти до розгляду послідовності математичної обробки рівноточних| вимірів|вимірів| виведемо декілька контрольних і допоміжних формул.
Для обчислення|підрахунку| простої арифметичної середини на практиці замість формули (5.1) зручно використовувати формулу, що має вигляд
|вид|де L0 – так званий «умовний нуль», тобто доцільно вибране наближене значення, щоб різниці
були малими величинами, δ – деяка погрішність li вимірювання. Графічна інтерпретація пошуку арифметичної середини з використанням «умовного нуля» ілюструється рис.5.4.
Рис. 5.4 – Ілюстрація знаходження простої арифметичної середини
з використанням «умовного нуля|нуль-індикатора|»
Дійсно, відповідно до (5.17) і (5.18) можна записати
У результаті отримана|одержувати| формула для обчислення|підрахунку| простої арифметичної середини (5.1). Далі для обчислення|підрахунку| за формулою (5.11) емпіричної середньої квадратичної| похибки необхідно спочатку за перетвореною формулою (5.8) обчислити|обчисляти| найймовірніші| поправки
Теоретичною перевіркою правильності обчислення арифметичної середини з використанням «умовного нуля» вимірів може служити четверта властивість арифметичної середини. Проте практика показує, що при обчисленні суми найймовірніших поправок за формулою (5.7) процедура округлення отриманих результатів дає зміщене значення L', що відрізняється від значення L на малу величину β, тобто
і зміщені поправки, також відрізняються від найймовірніших поправок на величину β.
Вищесказане проілюструємо рис. 5.5.
Рис. 5.5 – Ілюстрація зсуву вимірюваної величини за рахунок округлення
найймовірніших| поправок
Підсумуємо всі від вирази (5.20) і отримаємо наступний формальний запис:
Спираючись|обпиратися| на перетворення, які зроблені при доведенні теореми (див. п.п. 5.2) можна записати
Відповідно до п'ятої властивості арифметичної середини сума наближених поправок виміряної величини [v'] більше суми найймовірніших поправок [v]. Формально можна записати [v'] > [v].
Для знаходження незміщеного значення вимірюваної величини скористаємося виразом (5.11), який отриманий при обґрунтуванні п'ятої властивості простої арифметичної середини (див. п.п. 5.1). Замінимо в цьому виразі y на L':
Прості перетворення формул (5.19) і (5.21) дозволяють записати рівність
Підставляючи отримані|одержувати| вирази до формули (5.22) отримаємо наступне:
Отримана|одержувати| сума квадратів найймовірніших| поправок вимірюваної величини дорівнює різниці суми квадратів наближеної поправки і середньої величини цих же поправок. Для перевірки правильності математичних побудов знову скористаємося формулою (5.11), замінивши в ній v' на δl, а у на L0, враховуючи при цьому, що отримаємо
Порівнюючи праві частини|частки| виразів (5.23) і (5.24) видно|показний|, що вони мають один і той же фізичний сенс. Оцінимо|оцінюватимемо| надійність обчислень|підрахунків| зроблених за формулою (5.12), оскільки|тому що| емпірична середня квадратична| похибка є|з'являється| величиною наближеною. Таку оцінку можна зробити, використовуючи формулу
Для визначення середньої квадратичної похибки арифметичної середини L скористаємося обґрунтуванням другої властивості простої арифметичної середини, а саме формулою (5.3). Замінимо в ній невідомі стандарти σ і σL середніми квадратичними похибками m і М, і отримаємо
На підставі отриманих|одержувати| формул (5.25) і (5.26) надійність | величини М|м-коду| можна оцінити|оцінювати|, використовуючи формулу
Розглянуті|розглядувати| вище математичні побудови|шикування| призводять|призводять| до наступної|такої| послідовності математичних процедур з обробки ряду рівноточних|лави| | вимірів|вимірів| однієї і тієї ж величини.
Процедура 1. Евристична процедура з знаходження умовного нуля L0.
Процедура 2. Процедура обчислення арифметичної середини, яка полягає в округленні отриманих результатів і визначенні величини зсуву β за формулою (5.19).
Процедура 3. Обчислення зсуву, яка полягає в округленні найймовірніших поправок v' і їх підсумовування.
Процедура 4. Контрольна перевірка правильності виконаних обчислень. Перевіряється співвідношення величини суми найймовірніших поправок ([v']), отриманих процедурою 4, і добуток кількості вимірів на величину зсуву nβ. Якщо існує нерівність [v'] < nβ, то обчислення виконані правильно.
Процедура 5. Обчислення значень (δli)2 і (vi')2 для кожного вимірювання і знаходження їх сум.
Процедура 6. Обчислення емпіричної середньої квадратичної похибки m за формулою (5.12), спочатку на основі результатів обчислення [v2], отриманих за формулою (5.23), а потім на основі результатів обчислення тієї ж величини за формулою (5.24). Обидва результати повинні збігтися в межах точності вимірів.
Процедура 7. Оцінювання надійності обчислення наближеного значення емпіричної середньої квадратичної похибки результатів вимірів за формулою (5.25).
Процедура 8. Обчислення середньої квадратичної похибки простої арифметичної середини вимірюваної величини L за формулою (5.26).
Процедура 9. Оцінка надійності отриманих результатів вимірювання здійснюється за формулою (5.27).
Використовуючи наведені вище процедури розглянемо|розглядуватимемо| приклад|зразок| математичної обробки ряду|лави| незалежних рівноточних| вимірів|вимірів| величини горизонтального кута|рогу|, зроблених 16 прийомами теодолітом 2Т5.
Приклад 5.1. Результати вимірів:
L1= 115° 14' 42,1''; L7= 115° 14' 29,8''; L13= 115° 14' 32,0'';
L2= 115° 14' 35,2''; L8= 115° 14' 29,1''; L14= 115° 14' 41,4'';
L3= 115° 14' 35,4''; L9= 115° 14' 35,3''; L15= 115° 14' 21,5'';
L4= 115° 14' 34,4''; L10= 115° 14' 39,0''; L16= 115° 14' 34,6'';
L5= 115° 14' 28,7''; L11= 115° 14' 32,1'';
L6= 115° 14' 37,3''; L12= 115° 14' 27,5'';
Враховуючи рекомендації першої процедури, за значення умовного нуля приймемо величину L0=115° 14' 30,0''. Знайдемо значення величин δli=L0–li і підсумуємо їх. Результати двох процедур наведено в табл. 5.1.
Виконуючи другу процедуру обчислимо за формулою (5.17) просту арифметичну середину, округлимо отриманий результат до 0,1'' і визначимо величину зсуву β за формулою (5.19).
Таблиця 5.1 – Вихідні дані|виміри| і проміжні результати
їх математичної обробки
№ з/п |
Результати вимірів li | |
δli (с) |
δli2 |
vi (с) |
(vi')2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
115° 14' 42,1'' |
12.1 |
146.4 |
-8.6 |
74.0 |
2 |
115° 14' 35,2'' |
5.2 |
27.0 |
-1.7 |
2.9 |
3 |
115° 14' 35,4'' |
5.4 |
29.2 |
-1.9 |
3.6 |
4 |
115° 14' 34,4'' |
4.4 |
19.4 |
-0.9 |
0.8 |
5 |
115° 14' 28,7'' |
-1.3 |
1.7 |
4.8 |
23.0 |
6 |
115° 14' 37,3'' |
7.3 |
53.3 |
-3.8 |
14.4 |
7 |
115° 14' 29,8'' |
-0.2 |
0 |
3.7 |
13.7 |
8 |
115° 14' 29,1'' |
-0.9 |
0.8 |
4.4 |
19.4 |
9 |
115° 14' 35,3'' |
5.3 |
28.1 |
-1.8 |
3.2 |
10 |
115° 14' 39,0'' |
9.0 |
81.0 |
-5.5 |
30.2 |
11 |
115° 14' 32,1'' |
2.1 |
4.4 |
1.4 |
2.0 |
12 |
115° 14' 27,5'' |
-2.5 |
6.2 |
6.0 |
36.0 |
13 |
115° 14' 32,0'' |
2.0 |
4.0 |
1.5 |
2.2 |
14 |
115° 14' 41,4'' |
11.4 |
130.0 |
-7.9 |
62.4 |
15 |
115° 14' 21,5'' |
-8.5 |
72.2 |
12.0 |
144.0 |
16 |
115° 14' 34,6'' |
4.6 |
21.2 |
-1.1 |
1.2 |
|
L0=115° 14' 30,0'' |
[δl]=55,4 |
[(δli)2] =624,9 |
[vi']=0,6 |
[(vi')2]=433,0 |
|
[δl]/n=3,46'' |
|
|
nβ=0,64 |
|
|
L'=115° 14' 33,5'' |
|
|
|
|
|
β=0,04 |
|
|
|
|
Відповідно до третьої процедури обчислимо зсув, який утворюється за рахунок округлення найймовірніших поправок v' і підсумуємо їх (див. стовпець 5 табл. 5.1).
Виконаємо контрольну, четверту процедуру, і порівняємо [v'] з величиною nβ. Результат порівняння показує, що величина [v'] на 0,04 менше величини nβ. Отже, обчислення виконані правильно.
П’ята процедура забезпечує обчислення квадратів (δli)2 і (vi')2.
Відповідно до шостої процедури зробимо обчислення значень емпіричної середньої квадратичної похибки m спочатку за формулами (5.12) і (5.23), а потім використовуючи формули (5.12) і (5.24).
Зробимо елементарні перетворення формули (5.12) і підставивши до неї двічі чисельні значення, отримані при обчисленні [v2] за формулами (5.23) і (5.24), матимемо:
- результат обчислення|підрахунку| емпіричної середньої квадратичної| похибки із використанням чисельних розрахунків за формулою (5.23)
- результат обчислення|підрахунку| емпіричної середньої квадратичної| похибки із використанням чисельних розрахунків за формулою (5.24)
Рівність отриманих результатів показує правильність математичних розрахунків емпіричної середньої квадратичної похибки|підрахунків|.
Оцінювання надійності обчислення наближеного значення емпіричної середньої квадратичної похибки результатів вимірів здійснюється за сьомою процедурою із використанням формули (5.25). Підставляючи до формули чисельне значення m = 5,4'' отримаємо
що свідчить|засвідчує| про високу надійність наближеного оцінювання емпіричної середньої квадратичної| похибки результатів вимірів|вимірів|.
Восьмою процедурою обчислюється середня квадратична| похибка знаходження простої арифметичної середини вимірюваної величини L. Підставляючи до формули (5.26) отримані чисельні значення, маємо
Остаточною, дев’ятою процедурою, здійснюється оцінювання надійності отриманих результатів вимірів. Для цього обчислюється за формулою (5.27) значення середньої квадратичної| похибки результатів вимірів
яке порівнюється з|із| сумарною ймовірною| похибкою. У нашому випадку середня квадратична| похибка майже в два з|із| половиною рази менша сумарної найймовірнішої| похибки, що свідчить|засвідчує| про задовільну надійність отриманих результатів.
Таким чином, на підставі раніше розглянутих|розглядувати| понять простої арифметичної середини і її властивостей, а також теореми про знаходження емпіричної середньої квадратичної| похибки сформована строга|сувора| послідовність математичної обробки ряду|лави| рівноточних| результатів вимірів|вимірів|. Математична обробка включає десять|десятеро| процедур, що забезпечують як обчислення|підрахунки| необхідних величин, так і контроль правильності їх виконання. Наводиться конкретний приклад математичної обробки результатів вимірів|виміру| горизонтального кута|рогу|, що показує працездатність сформованої послідовності математичних побудов|шикувань|.