Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пособие МОГеодВим.docx
Скачиваний:
52
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
3.31 Mб
Скачать

6.2. Вага функцій результатів нерівноточних| вимірів|вимірів|

Для оцінки відносної точності функції незалежних результатів нерівноточних| вимірів|вимірів| скористаємося формулою, яка випливає з|із| доведення основної теореми теорії похибок, а саме формули (4.2)

Перетворимо отриману формулу з метою переходу в ній від стандартів σ до вагів р. Для цього піднесемо ліву і праву частину формули (4.2) до квадрату і підставимо замість квадратів стандартів σi2 вирази (6.1) та, скоротивши ліву і праву частини на загальний множник c, отримаємо формальний запис

Розглянемо простий окремий випадок використання формули (6.6) для функції з однією змінною y = cx. Підставимо цю формулу до (6.6) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо або . Застосувавши цю рівність до кожного виміру, де li – результат i-го вимірювання, а pi – його вага, отримаємо

Отже, з цих математичних побудов випливає, що якщо помножити результат вимірів на корінь квадратний з його ваги, то вага добутку дорівнюватиме одиниці, а його стандарт дорівнюватиме стандарту одиниці ваги .

З пропорції (6.2), отриманої на основі (6.1) запишемо . Перетворюючи цю формулу знайдемо вагу py і стандарт σy функції y=cx,

На основі нескладних математичних перетворень отримані|одержувати| формули, які пов'язують вагу функції результатів нерівноточних| вимірів|вимірів| із її точностними| характеристики.

Таким чином, для того, щоб знайти значення стандарту будь-якого результату виміру|виміру| або його функції, достатньо|досить| стандарт одиниці ваги розділити на корінь квадратний |із| ваги цього результату або його функції.

При визначенні ваг на практиці можливі два випадки:

1. Стандарти результатів вимірів|вимірів| відомі або можуть бути визначені теоретично. У цьому випадку для розрахунку вагів використовують вирази (6.1), (6.2) і (6.3).

2. У випадку, якщо|у разі , якщо| стандарти невідомі, то вагам можна дати приблизну оцінку, підставляючи у формулу (6.1) приблизні значення середніх або емпіричних середніх квадратичних| похибок, тобто

Розглянемо|розглядуватимемо| приклади|зразки| математичних побудов|шикувань| для розрахунку вагів у геодезичній практиці.

Приклад 6.1. Математичні перетворення для розрахунку ваги суми кутів теодолітного ходу, виміряних за однакових умов.

Особливістю розв’язання цієї задачі полягає в тому, що вимір кутів теодолітного ходу є рівноточним, тобто їх ваги p1=p2=…=pn=1. Враховуючи цю особливість формула (6.6) набере наступний вигляд

Підставляючи до формули замість pi, одиничне значення, маємо

тобто вага суми кутів|рогів| теодолітного| ходу обернено пропорційна|пропорціональна| кількості виміряних|виміряти| кутів|рогів| цього ходу.

Приклад 6.2. Математичні перетворення для розрахунку ваги лінійних вимірів полігонометричного (теодолітного) ходу. Графічна інтерпретація лінійних вимірів теодолітного ходу ілюструється рис. 6.1.

Рис. 6.1 Ілюстрація до прикладу 6.2

У основу математичних перетворень для розрахунку ваги лінійних вимірів полігонометричного |вимірі| ходу покладений відомий в геодезії факт, що довжина ходу дорівнює сумі довжин його сторін. Цей факт математично можна записати у вигляді рівняння

Крім того, відомо, що стандарт довжини лінії за відсутності систематичних похибок пропорційний|пропорціональний| кореню квадратному від|із| довжини лінії

де μd – коефіцієнт випадкового впливу.

Тоді підставляючи до виразів (6.2) σd для кожної лінії отримаємо формули для обчислення ваги виміряних ліній

В отриманих|одержувати| виразах виділимо постійну величину і позначимо її

тоді на підставі|основі| (6.3) і з урахуванням|з врахуванням| виразів (6.11) і (6.12) отримаємо

Спростивши отриманий|одержувати| вираз|вираження|, маємо

Таким чином, вага лінійного виміру|вимірів| полігонометричного| ходу обернено пропорційна|пропорціональна| довжині ходу.

Приклад 6.3. Математичні перетворення для розрахунку ваги перевищення нівелірного ходу, прокладеного на рівнинній місцевості.

Якщо хід прокладений на рівнинній місцевості при середній відстані між рейками кількість станцій в ході буде дорівнювати.

Враховуючи формулу (6.6) запишемо

де p1, p2,, pn=1 – ваги виміряних перевищень на станції. Беручи до уваги, що на всіх станціях перевищення виміряні в однакових умовах (рівноточно), тобто p1=p2=…=pn=p вираз (6.14) можна представити у вигляді

Позначивши отримаємо звідки випливає

Слід відзначити|помітити| рівність формул (6.13) і (6.15), тобто вага перевищення нівелірного|нівелір| ходу, прокладеного на рівнинній місцевості так само|місцевий|, як і за вимірів|вимірах| полігометричного| ходу (див. приклад|зразок| 6.2), обернено пропорційна|пропорціональний| довжині ходу.

Аналогічно|за аналогією| можна довести, що вага перевищення нівелірного|нівелір| ходу, прокладеного на пересіченій місцевості|місцевий|, обернено пропорційна|пропорціональна| кількості станцій, тобто

Таким чином, розглянуті|розглядувати| особливості математичних перетворень, що забезпечують оцінку відносної точності функції незалежних результатів нерівноточних| вимірів|вимірів|, а також приклади|зразки| математичних побудов|шикувань|, що дозволяють розраховувати ваги функціональних залежностей, отриманих|одержувати| з|із| геодезичної практики.