10. Параметричний спосіб зрівнювання геодезичних побудов |шикувань|10.1. Постановка задачі. Рівняння поправок

Нехай для визначення значень невідомих x, у, z,…, t виконані рівноточні незалежні виміри . Загальне число невідомихt, загальне число вимірів n. При цьому . Ці умови свідчать про те, що система рівнянь, що відображає процес вимірів є перевизначеною. В даному випадку невідомими можуть бути координати пунктів, висоти реперів та інші фізичні величини, значення яких необхідно визначити, а вимірюваними величинами – горизонтальні напрями, горизонтальні або вертикальні кути, довжини ліній, перевищення тощо. Природно припустити, що між невідомимиx, у, z,…, t і вимірюваними величинами існує деяка залежність, яку в загальному вигляді можна представити наступним математичним співвідношенням:

де - поправки для виміряних значень L_i.

Деталізуємо співвідношення (10.1) і запишемо його у вигляді системи рівнянь поправок:

… (10.2)

Зведемо отриману систему рівнянь (10.2) до вигляду зручного для диференціювання і задоволення умови (9.3), тобто умови мінімізації поправок. Для цього введемо деякі прирости до невідомих і позначимо їх ,,,…,, і так само до поправок, які позначимо,,,…,. Тоді справедливо записати наступну систему рівнянь:

,

,

, (10.3)

…

.

Підставимо отримані|одержувати| співвідношення (10.3) в систему рівнянь (10.2) і запишемо функцію в загальному виді:

. (10.4)

Для подальшого|дальшого| математичного аналізу отриманого|одержувати| вираження скористаємося процедурами розкладу функції в ряд|лаву| Тейлора. Нагадаємо, що формула Тейлора застосовуються для апроксимації функції многочленами, а лінеаризація рівнянь відбувається|походить| шляхом розкладання в ряд|лаву| Тейлора і відсікання всіх членів вище першого порядку|ладу|. Формула Тейлора і одна з теорем диференціального числення|обчислення| для довідки приведена в додатку|застосуванні| Г.

Припустимо, що функції (10.4) є такими, що їх можна розкласти в ряд Тейлора в границях точок , ,,…,. Оскільки прирости ,,,…,, є малими величинами, то обмежуючись лінійними членами розкладання отримаємо:

де .

Введемо позначення:

Із урахуванням обмежень і введених|запроваджувати| позначень, які обертають статистичні|поважні| члени ряду|лави| |звертають|в малі величини можна записати:

, .

Тоді систему рівнянь (10.2) з урахуванням виконаних|проробити| перетворень можна записати в лінеаризованому виді:

,

,

… (10.7)

.

Таким чином, в отриманих рівняннях невідомими є поправки для виміряних значень, і прирости поправок ,,,…, для значень параметрів , ,,…,. Тому отримана|одержувати| система параметричних рівнянь (10.7) є недовизначеною, тому що кількість невідомих більша, ніж кількість рівнянь, яка дорівнює n.

10.2. Мінімум Нормальні рівняння

На основі отриманої|одержувати| в п.п. 10.1 систем рівнянь (10.7), яка описує лінеаризовану систему поправок покажемо процедуру її нормалізації. Для цього запроваджуватимемо обмеження на число невідомих в системі рівнянь з метою зменшення розмірності вирішуваного|рішати| завдання|задачі|. Вважатимемо|гадатимемо|, що число рівнянь дорівнює n, а число невідомих дорівнює 3. Тоді система рівнянь (10.7) набере вигляду:

,

,

… (10.8)

.

Число надмірних вимірів в даному випадку дорівнює і тому система рівнянь не має єдиного рішення.

Знайдемо для цієї системи мінімум . Для цього виконаємо наступні перетворення. Спочатку зведемо в квадрат праві і ліві частини рівнянь поправок (10.8), а потім результати складемо. Результат запишемо в символах К.Ф. Гаусса

. (10.9)

Для знаходження локального екстремуму отриманої|одержувати| функції, тобто візьмемо часткові похідні за невідомими,, і прирівняємо їх до нуля|нуль-індикатора|. Отримаємо|одержуватимемо|:

Скоротимо дані вирази на спільний множник 2 і отримаємо|одержуватимемо| систему нормальних рівнянь, в якій число невідомих дорівнює числу рівнянь

(10.10)

Така система рівнянь має єдине рішення і тому її прийнято називати системою нормальних рівнянь.

У отриманій системі рівнянь коефіцієнти при невідомих, які розташовані по головній діагоналі прийнято називати квадратичними. Особливістю отриманої системи рівнянь є те, що коефіцієнти головної діагоналі завжди позитивні, а коефіцієнти при невідомих, розташовані симетрично щодо головної діагоналі, попарно рівні між собою, тобто система рівнянь (10.10) симетрична. Розв’язавши цю систему, знаходимо невідомі ,,. Підставивши набутих значень невідомих в систему рівнянь (10.8) можна знайти значення поправок.

Таким чином, описана процедура перетворення системи лінеаризованих рівнянь, яка не має єдиного розв'язання в систему нормальних рівнянь що має єдине розв'язання.