Задания для самостоятельной работы

1. Найти угол между векторами и, если , .

А) ,,

Б) ,,

В) ,,

2. Параллелограмм построен на векторах и, где А),,.

Б) ,,.

В) ,,.

Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

2. Компланарны ли векторы

А) ,,,

Б) ,,,

В) ,,?

3. Найти точку , делящую отрезокв отношении, если

А) .

Б) .

В) .

4. Пирамида задана координатами своих вершин

А) ,,,

Б) ,,,

В) ,,.

Требуется найти: 1) длины ребер и; 2) угол между ребрамии; 3) площадь грани, содержащей вершины; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямыхи; 6) уравнение высоты, опущенной из вершинына плоскость; 7) расстояние от вершиныдо плоскости; 8) угол между реброми гранью, содержащей вершины.

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Функции комплексного пременного

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Дифференциальное и интегральное исчисления Пределы.

Пример: Найти пределы функций

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

Решение:

а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x=2 приводит к неопределённости вида (0/0). Чтобы раскрыть эту неопределённость, разложим числитель и знаменатель на множители по формулегдеx₁иx₂находятся как корни квадратных трёхчленов стоящих в числители и знаменатели

Так как аргумент xтолько стремится к своему предельному значению -2, но не совпадает с ним, то множитель (x+2) отличен от нуля прих→ -2 и можно сократить на (x+2). В результате будем иметь:

б) При xимеем неопределенность вида (/). Разделим числитель и знаменатель дроби наx² (x0) при х. Получим:

== 2,

(так как при х7/x 0, 6/x² 0, 5/x 0, 9/x² 0).

в) Непосредственная подстановка даёт неопределённость вида(0/0).

Используем формулу сокращённого умножения (a-b)(a+b)=a² +b². Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения:и.

Имеем:

г) При хоснованиестремится к 1, а показатель степени (4x+1) стремится к. Значит, имеем неопределённость вида (1^).

Будем использовать второй замечательный предел .

Сведем исходное выражение заданного предела ко второму замечательному пределу:

Положим . Тогда. Выразим показатель степени через переменную:

Кроме того, при х, новая переменнаяy.

Таким образом

Задания для самостоятельной работы

1) а) б)в) г)

2) а) б)в)г)

3) а) б)в) г)

4) а) б)в)г)

5) а) б) в) г)

6) а) б) в)г)

7) а) б) в)г)

8) а) б) в) г)

9) а) б)в) г)

10) а) б)в)г)

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Основы дифференциального исчисления

Пример.Найти производные функций:

а) ; б);

в) ; г)y=ln; д).

Решение:

а) Используя правило дифференцирования дроби и таблицы производных элементарных функций, получим:

б) Воспользуемся вначале правилом дифференцирования сложной степенной функции:

Найдём далее производную разности (3^arctg2x–ln(1+4²))

Производная выражения 3^arctg2xесть производная сложной, показательной функции. Она равна:

(3 ^arctg2x )^/= 3 ^arctg2x ln3 (arctg2x)^/=3 ^arctg2x ln3

Производная выражения есть производная сложной логарифмической функции. Она равна (ln(1+4²))^/

Окончательно имеем

y^/=(3 ^arctg2x ln3)=

(3 ^arctg2x ln3-4x)

в) Воспользуемся вначале правилом дифференцирования сложной показательной функции:

Окончательно будем иметь: .

г) Предварительно преобразуем функцию, используя свойство логарифмов: y=lnln(lnln).

Применяя правило дифференцирования разности функций и сложной логарифмической функции, получим:

(lnln.

д) Предварительно прологарифмируем по основанию обе части равенства:

ln = ln(x+1)^arctgx = arctg x ln(x+1).

Далее продифференцируем обе части, считая lnyсложной функцией от переменнойx:

( arctg x)ln(x+1) + arctg x (ln(x+1)) = ln(x+1) + arctg x

Окончательно выразим y: