11.3 Власні вектори

Кожному значенню відповідає нескінченна множина однаково направлених, але різної довжини власних векторів. Всі вони можуть бути визначені із матричного рівняння.

Щоб виділити із множини таких векторів один з них, необхідно для нього задати одну із координат.

Для розглянутого прикладу при маємо:

.

Задамося і розділимо досліджуване матричне рівняння на субматриці:

.

Отже, власний вектор, що відповідає власному значенню має координати

.

Перевіримо:

.

Для маємо рівняння:

.

Задаючи , маємо:

.

Отже, другий власний вектор має координати

.

Перевіряємо:

.

Для одержуємо аналогічним способом третій власний вектор матриціА:

Перевіряємо:

.

Невелика розбіжність в третьому знаці результату з’явилася за рахунок роботи з неточними числами.

11.4 Знаходження найбільшого власного числа

При аналізі технічних систем часто досить знати не всі власні значення і відповідні до них власні вектори, а лише деякі з них. Наприклад, в задачі про коливання балки найбільший практичний інтерес становить перша частота коливань, а в задачі про напружений стан у точці деформованого пружного тіла бажано знати лише значення найбільшого головного напруження, яке відповідає найбільшому власному значенню напружень . В такій постановці мова йде про часткову проблему власних значень. Для її розв’язання ефективними є ітераційні методи.

Ітераційний процес відшукання найбільшого власного значення випливає із системи рівнянь:

(11.1)

Якщо декілька разів повторити операцію множення АХ, то результуючий вектор буде збільшуватись в основному за рахунок найбільшого по модулю . Якщо на деякій ітерації взяти відношення відображеного вектора до попереднього, то це і буде наближене значення.

Застосуємо цей метод для одержання попереднього прикладу. Візьмемо за первісний вектор.

1. .

2.

.

3.

.

Тобто уже на третій ітерації, з точністю три знаки після коми, ми одержали найбільше власне значення матриці. Така швидка збіжність пояснюється тим, що в нашому прикладі значно більша зата.

Для одержання найменшого власного значення матричний вираз (11.1) помножимо зліва на :

звідки

.

Тобто маємо такий же ітераційний процес, але з оберненою матрицею А.

11.5 Завдання

В таблиці вибрати варіанти матриці А, одержати для неї та для її матриці  власні числа та власні вектори. Впевнитися, що модулі матриці  мають величину меншу за 1. Для матриці А знайти та.

Варіанти завдань

Варіант	Система рівнянь	Варіант	Система рівнянь

Приклад виконання .

11.6 Питання для самоперевірки

1. Які вектори називаються власними векторами?

2. Що таке головна вісь матриці?

3. Що таке власне значення матриці?

4. За якої умови можна знайти власні значення матриці?

5. Що таке визначник матриці?

6. Як обчислити визначник матриці 3-го порядку?

7. Що називається віковим визначником?

8. Як отримати характеристичне рівняння n-го степеню?

9. Що ми отримаємо після розкриття вікового визначника n-го степеню?

10. Як обрахувати слід матриці ?

11. За якою формулою можна знайти суму діагональних мінорів другого порядку?

12. За якою формулою можна знайти суму діагональних мінорів третього порядку?

13. Якщо розмірність матриці більше трьох, то яким чином отримують мінори?

14. Як розв’язати характеристичне рівняння за допомогою символьного процесора MathCad?

15. В яких фахових задачах застосовується знаходження найбільших або найменших власних значень?

16. Із якої системи рівнянь випливає ітераційний процес знаходження найбільшого власного значення?

17. Як знайти найменше власне значення?

18. Яка функція в MathCad обчислює вектор, елементами якого є власні значення матриці А?

19. Яка функція в MathCad обчислює матрицю, яка містить нормовані вектори, які відповідають власним значенням матриці А?

20. Яка функція в MathCad обчислює власний вектор для матриці А і заданого власного значення l?