- •Посібник з інформатики і системології
- •Тема 1. Використання текстового процесора Word в практичній роботі фахівця
- •1.1. Теоретична частина
- •1.2. Завдання для виконання лабораторної роботи
- •1.3 Приклад виконання роботи
- •1. Друкування та форматування тексту
- •2. Складання списків та їх форматування Кондитерська фабрика
- •3.Створення таблиці
- •4. Користування об’єктами WordArt
- •5. Створення формул
- •6. Складання блок-схеми
- •Питання для самоконтролю
- •Тема 2. Використання табличного процесора ms Excel в практичній роботі фахівця
- •2.1. Теоретична частина
- •2.2. Типи даних ет Excel
- •2.3. Сортування та фільтрація даних
- •2.4. Статистична обробка експериментальних даних на еп Excel (Завдання №1)
- •2.5. Завдання для виконання роботи
- •2.6. Приклад виконання роботи
- •2.7. Питання для самоконтролю
- •Тема 3. Алгоритмізація фахових задач та їх програмування на мові Pascal for Windows
- •3.1. Алгоритми
- •Фігури блок-схем
- •А) б)
- •3.2. Основи програмування на мові Pascal for Windows
- •3.3. Завдання для виконання лабораторної роботи
- •Завдання по темі
- •3.5. Питання для самоконтролю
- •Тема 4. Використання системи MathCad для розв’язування фахових задач
- •4.1. Загальні положення
- •4.2. Основи роботи в MathCad
- •1. Визначення змінних та їх результатів
- •4.3. Графічні об’єкти
- •В. Графічний вигляд функції
- •4.4. Символьний режим роботи
- •4.5. Завдання до виконання лабораторних робіт
- •Варіанти завдань
- •Варіанти до завдання 1
- •Варіанти до завдання 2
- •Варіанти до завдання 3
- •Варіанти завдання 4
- •Варіанти до завдання 5
- •4.6. Питання для самоконтролю
- •Тема 5. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •5.1. Завдання до виконання роботи
- •Варіанти завдань
- •5.2. Питання для самоконтролю
- •Тема 6. Розв’язок нелінійних рівнянь та їх систем
- •6.1. Загальні положення
- •6.2. Етапи відокремлення коренів
- •6.3. Способи уточнення коренів
- •6.3.1. Метод половинного ділення (дихотомії)
- •6.3.2. Уточнення коренів методом хорд
- •6.3.3. Уточнення кореня методом дотичних (Ньютона)
- •6.3.4. Ітераційний метод уточнення кореня
- •6.3.5. Система нелінійних рівнянь
- •Варіанти завдань
- •6.4. Питання для самоконтролю
- •Тема 7. Інтерполяція і апроксимація функцій заданих таблично
- •7.1. Постановка задачі
- •7.2. Інтерполяційний поліном Лагранжа
- •7.3. Табличний метод застосування полінома Лагранжа
- •7.4. Інтерполяційні формули Ньютона
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •7.5. Обернена інтерполяція
- •Обернена інтерполяція
- •7.6. Апроксимація функцій методом найменших квадратів
- •7.7. Нелінійна апроксимація
- •Експоненціальна апроксимація
- •Варіанти завдань
- •7.9. Питання для самоконтролю
- •Тема 8. Чисельне диференціювання та інтегрування функцій
- •8.1. Наближене диференціювання
- •Диференціювання функції на базі
- •Варіанти завдань
- •8.3. Питання для самоконтролю
- •Тема 9: Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь
- •9.1. Загальні поняття
- •9.2. Метод Ейлера
- •9.3. Метод Рунге-Кутта
- •9.4. Інтегрування диференційних рівнянь інструментарієм системи MathCad
- •Функції rkfixed, Bulstoer таRkadapt
- •9.5. Завдання до виконання роботи
- •Варіанти завдань
- •9.6. Питання для самоконтролю
- •Тема 10. Чисельні методи оптимізації
- •10.1. Постановка задачі
- •10.2. Постановка задачі лінійного програмування
- •10.3. Геометрична інтерпретація злп
- •Графічний розв’язок злп
- •10.4. Симплекс-метод розв’язку злп
- •10.5. Розв’язок злп з допомогою ms Excel
- •Варіанти завдань
- •10.6. Транспортна задача
- •10.6.1. Постановка задачі
- •10.6.2. Метод північно-західного кута
- •Варіанти транспортної задачі
- •10.7. Питання для самоконтролю
- •Тема 11. Власні значення та власні вектори
- •11.1. Загальні поняття
- •11.2. Власні значення
- •11.3 Власні вектори
- •11.4 Знаходження найбільшого власного числа
- •11.5 Завдання
- •Варіанти завдань
- •11.6 Питання для самоперевірки
- •Література
- •Тема 1. Використання текстового процесора Word в практичній роботі фахівця 4
6.3.5. Система нелінійних рівнянь
На відміну від СЛАР для систем нелінійних рівнянь (СНР) не існує прямих методів розв’язку, а тому їх розв’язують лише ітераційними способами. В загальній формі СНР записується так:
, (6.3)
або в векторній формі , деХ – вектор невідомих, – вектор-функція.
Для одержання ітераційної формули створення процесу прямої ітерації приведемо систему (6.3) до вигляду:
що в векторній формі записують .
Задавши початкове значення вектора невідомих , одержуємо ітераційний процес:і т.д., допоки різниця норм векторівХ на сусідніх ітераціях не стануть менше наперед заданого малого числа :
.
Недоліком таких процесів є те, що початкове значення потрібно вибирати лише взоні збіжності поблизу точки розв’язку. Цю зону визначають із фізичних властивостей процесів чи об’єктів, режим роботи яких описується даною системою нелінійних рівнянь. В двовимірному просторі зону збіжності можна визначати графічно.
Наступним обмеженням застосування метода прямої ітерації є те, що для створення збіжного ітераційного процесу перетворення потрібно здійснити таким чином, щоб
Наведемо приклад розв’язку СНР для двох невідомих:
Найбільшого поширення в інженерній практиці при розв’язуванні СНР набув метод Ньютона, який має ряд переваг перед іншими ітераційними методами. В першу чергу – це його значна швидкість збіжності. Для побудови ітераційного процесу за цим методом вектор-функцію розкладемо вn-вимірному просторі в ряд Тейлора:
Згідно (6.3) . Далі в цьому ряду
–вектор-функція, розміщена в зоні збіжності;
–матриця Якобі, яка складається із елементів, що являють собою частинні похідні від усіх рівнянь системи по усім невідомим;
– вектор-нев’язка, яка наближає вектор до точки розв’язку системи;– матриця Гессе, що складається із частинних похідних другого порядку. В двовимірному випадку маємо ці вектори на рисунку 26.
Рисунок 26 – Геометрична інтерпретація метода Ньютона
Враховуючи ітераційний процес, залишимо в ряду лише два перших елемента і одержимо значення вектора :
Звідси ітераційна формула буде мати вигляд:
або:
.
Таким чином ітераційний процес по методу Ньютона реалізуються схемою: і т.д.
Метод збігається до точки розв’язку дуже швидко (2-3 ітерації), але і для нього існує проблема вибору початкового вектора .
Застосуємо метод для попередньої задачі.
Перевіримо, розв’язок інструментарієм системи MathCad:
Варіанти завдань
Таблиця 13
№ вар |
Нелінійне рівняння f(x) |
№ вар |
Нелінійне рівняння f(x) |
1 |
14 | ||
2 |
15 | ||
3 |
16 | ||
4 |
17 | ||
5 |
18 | ||
6 |
19 | ||
7 |
20 | ||
8 |
21 | ||
9 |
22 | ||
10 |
23 | ||
11 |
24 | ||
12 |
25 | ||
13 |
26 |
Таблиця 14
№ вар |
Система нелінійних рівнянь |
№ вар |
Система нелінійних рівнянь |
1 |
14 | ||
2 |
15 | ||
3 |
16 | ||
4 |
17 | ||
5 |
18 | ||
6 |
19 | ||
7 |
20 | ||
8 |
21 | ||
9 |
22 | ||
10 |
23 | ||
11 |
24 | ||
12 |
25 | ||
13 |
26 |