Обернена інтерполяція

7.6. Апроксимація функцій методом найменших квадратів

При інтерполяції функції, заданої таблицею , знаходилися поліноми, які збігалися із значеннями функції у вузлах інтерполяції.

В режимі апроксимації знаходять відому залежність (пряму, параболу, експоненту, синусоїду тощо) такого вигляду, щоб її графік найближче проходив до усіх значень табличної функції. Така апроксимуюча функція не буде давати точних значеньв вузлах інтерполяції, але буде досить близькою до них. Найзручнішою формою близькості є така, за якою сума квадратів різниць між табличною функцієюта апроксимуючою функцієюв точкахтаблиці:

(7.7)

Наближення функції у формулі (7.7) називають квадратичним, а сам процес мінімізації –методом найменших квадратів.

Застосуємо цей метод для найпростішої апроксимації функції прямою лінією (рисунок 29).

Рисунок 29 – Геометричне представлення лінійної апроксимації

; ;

.

Невідомі коефіцієнти прямої a та b знайдемо, якщо прирівняємо до нуля частинні похідні від по невідомима і b: .

Розпишемо ці похідні:

Скоротивши на та розкривши знакбудемо мати:

.

Або в матричній формі:

(7.8)

Приклад лінійної апроксимації табличної функції.

Інструментами системи MathCad можна одержати коефіцієнти прямої таабо.

Для апроксимації табличної функції параболою

коефіцієнтами a, b, c квадратичної функції одержуємо із трьох рівнянь

Одержуємо матричне рівняння .

Застосуємо розв’язок цього рівняння для попередньої задачі.

Коефіцієнти a, b, c на MathCad можна одержати: .

Бачимо, що парабола значно краще апроксимує табличні значення .

7.7. Нелінійна апроксимація

Для тих табличних залежностей, де лінійна чи квадратична апроксимація не досить вдалі, можна апроксимувати їх нелінійними залежностями. Для цього їх потрібно лінеаризувати та представити формулою (7.9). Наприклад, якщо припустити, що між величинами х та у існує залежність близька до експоненціальної , то потрібно застосувати лінійну залежність між величинамитах .

Можливі такі види залежностей їх лінеаризації:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. (7.9)

6. 

7. 

8. 

9. 

Наведемо приклад параболічної та експоненціальної апроксимації:

та

Експоненціальна апроксимація

Графічне зображення функцій

В цьому варіанті найкращою апроксимацією виявилась квадратична.

7.8. Завдання для виконання роботи

Варіанти завдань

7.9. Питання для самоконтролю

1. Інтерполяція в вузькому сенсі.

2. Що називають вузлами інтерполяції?

3. Що називають кроком інтерполяції?

4. Що називають фазою інтерполяції?

5. Апроксимуюча функція.

6. Інтерполяційний поліном Лагранжа.

7. Табличний метод полінома Лагранжа.

8. Екстраполяція.

9. Обернена інтерполяція.

10. Метод найменших квадратів.

11. Лінійна апроксимація.

12. Нелінійна апроксимація.

13. Види залежностей та їх лінеаризації.

14. Параболічна апроксимація.

15. Квадратична апроксимація.

16. Експоненціальна апроксимація.

17. Як визначити яка апроксимація вважається найкращою?

18. Форма полінома Лагранжа.

19. Перша інтерполяційна формула Ньютона.

20. Друга інтерполяційна формула Ньютона.

21. За допомогою яких вбудованих функцій можна отримати коефіцієнти функції?

22. Як використовується функція regress?

23. Що видає функція slope?

24. Що видає функція intercept?

25. Що видає функція regress?