5.1. Завдання до виконання роботи

1. Відповідно до свого варіанту вибрати СЛАР.

2. СЛАР розв’язати методом Крамера, Гауса.

3. Розв’язати СЛАР методом простої ітерації.

4. Перевірити розв’язки матричним способом та за допомогою вмонтованої функції lsolve, Find, Minerr.

Варіанти завдань

Таблиця 12

№ вар	Система лінійних рівнянь	№ вар	Система лінійних рівнянь
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13		26

5.2. Питання для самоконтролю

1. Який вигляд може мати СЛАР?

2. Що таке розв’язок СЛАР?

3. Сумісна та несумісна СЛАР.

4. Що таке особлива матриця?

5. Прямі методи розв’язку СЛАР.

6. Формули Крамера.

7. Метод Гауса.

8. Недоліки простих методів.

9. Ітераційні методи розв’язку СЛАР.

10. Від чого залежить точність розв’язку?

11. Яка ітераційна формула простої ітерації?

12. Умови збіжності прямого ітераційного методу.

13. Які є закони лінійного комбінування?

14. Умова вибору початкового вектора невідомих.

15. Розв’язок системи матричним методом.

16. Як одержати ітераційну формулу для побудови метода простої ітерації?

17. Призначення ключового слова ORIGIN.

18. Що таке розширена матриця СЛАР, як її отримати?

19. Що таке прямий та зворотній хід метода Гауса?

20. Привести функцію Крамера для знаходження х₂.

21. Як одержати розв’язок СЛАР з допомогою функції Find?

22. Що таке блок функції?

23. Призначення службового слова Given.

24. Використання вмонтованої функції lsolve.

25. Як обчислюється визначник матриці?

Тема 6. Розв’язок нелінійних рівнянь та їх систем

6.1. Загальні положення

Нелінійним рівнянням називається рівняння, графічне представлення якогоявляє собою криву лінію.

В залежності від того, які функції входять в рівняння , їх поділяють на алгебраїчні та трансцендентні. Рівняння вважається алгебраїчним, якщо для одержання значення функціїпо заданому значеннюх, потрібно виконувати лише арифметичні дії та піднесення до степені з раціональним показником. Алгебраїчне рівняння завжди можна привести до вигляду: .

Наприклад: , що після перетворення має вигляд.

Якщо в склад функції входять функції показникові (), логарифмічні (, тригонометричні () та інші, то таке рівняння називається трансцендентним.

Приклад: .

Коренем нелінійного рівняння є таке значення , яке при підстановці його вперетворює рівняння в нуль. В залежності від виглядукорені можуть бути як дійсними числами, так і комплексно-спряженими. При обчисленні нелінійних рівнянь нас будуть цікавити дійсні корені. Графічно дійсні корені являють собою точки на осіОХ координатної площини, в яких графік функції перетинає цю вісь (рисунок 19).

Рисунок 19 – Корені рівняння

Порівняно з трансцендентними рівняннями, для алгебраїчних рівнянь завжди відомо точну кількість їх коренів. Наведемо деякі властивості алгебраїчних рівнянь, що допомагають в їх дослідженні:

1. алгебраїчне рівняння n-ого порядку має n коренів, які можуть бути, як дійсними так і комплексними;

2. кількість додатніх коренів дорівнює кількості змін знаків у послідовності коефіцієнтів (або менше на ціле число – нульові коефіцієнтине враховуються);

3. кількість від’ємних коренів дорівнює (або менша на ціле число) числу змін знаків коефіцієнтів при змініх на –х.

Із курсу математичного аналізу згадаємо дві теореми:

1. Якщо функція на відрізкунеперервна і набуває на кінцях цього відрізка різних знаків, то в середині цього відрізка існує принаймні один корінь рівняння:

(6.1)

2. Якщо функція має похідну, що не змінює знака на відрізку, то при виконанні умови попередньої теореми рівняннямає на цьому відрізку єдиний (відокремлений) корінь:

(6.2).

Зміст цих теорем демонструє рисунок 20.

Рисунок 20 – Умови існування відокремленого кореня

Будемо використовувати критерії (6.1) та (6.2) при знаходженні коренів рівняння .

Процес їх одержання поділяється на два етапи:

1. На етапі відокремлення коренів на осі ОХ знаходяться такі відрізки в середині яких знаходиться єдиний корінь.

2. На етапі уточнення коренів діапазон звужують допоки значення функціїв звуженому діапазоні з заданою точністю не стане рівним нулю.