Варіанти завдань

Таблиця 16

№ варіанту	Функція		№ варіанту	Функція
1		[0,1;2]	14		[0;1,5]
2		[0;1,5]	15		[0;2]
3		[0;1]	16		[0,5;2]
4		[0;1,1]	17		[0;1,5]
5		[0,2;1,5]	18		[1,5;2,5]
6		[0;2]	19		[0,5;1,2]
7		[0,1;2]	20		[0,2;]
8		[0,5;2]	21		[0,5;2]
9		[0;1,5]	22		[0;1,4]
10		[0;2]	23		[0;0,6]
11		[0,5;1,5]	24		[0,1;0,9]
12		[1;2]	25		[0;2]
13		[0,2;1,5]	26		[1;2]

8.3. Питання для самоконтролю

1. Чисельне диференціювання, його геометричний зміст.

2. Чисельне диференціювання базоване на першій інтерполяційній формулі Ньютона.

3. Визначений інтеграл, його геометричний зміст.

4. Метод парабол.

5. Метод трапецій.

6. Метод прямокутників.

7. Види методу прямокутників.

8. Як зобразити інтеграл на графіку?

9. Які формули називають квадратурними?

10. Символьне обчислення інтегралу двома способами.

11. Символьне обчислення першої і другої похідної заданої функції двома способами.

12. Точність обчислення похідних чисельними методами.

13. Формула Ньютона-Лейбніца. Її недоліки.

14. Формула знаходження площі параболічної трапеції.

15. Спосіб одержання суми елементів векторів в системі MathCad.

16. Формула одержання площі трапеції.

17. Геометрична інтерпретація визначеного інтегралу.

18. Чому ?

19. Як про диференціювати по х інтерполяційну формулу Ньютона, якщо в ній відсутній параметр х?

20. Звідки в формулі другої похідної коефіцієнт ?

Тема 9: Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь

9.1. Загальні поняття

Диференційним рівнянням називається рівняння, в склад якого невідома функція входить під знаком похідної або диференціалу.

Наприклад:

Якщо невідома функція, що входить в диференційне рівняння, залежить лише від одної незалежної змінної, то таке рівняння називається звичайним. В іншому випадку воно називається диференційним рівнянням в частинних похідних, наприклад .

Порядком диференційного рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить в рівняння (– диференційне рівняння третього порядку).

Якщо найвища похідна в рівнянні підноситься до степені, то ця степінь називається степінню даного рівняння – рівняння другого порядку третьої степені.

Розв’язком диференційного рівняння являється функція , яка будучи продиференційована разів та підставлена в рівняння перетворює його в тотожність. Графік розв’язку диференційного рівнянняназиваєтьсяінтегральною кривою цього рівняння.

Розглянемо розв’язок найпростішого диференційного рівняння . Це буде функція.

В залежності від значення константи інтегрування С буде мати множину інтегральних кривих, що відповідають розв’язку рівняння .

Рисунок 32 – Загальний розв’язок рівняння .

Така множина розв’язків називається загальним розв’язком диференційного рівняння.

Частинним розв’язком такого рівняння називається розв’язок, одержаний із загального при визначених значеннях сталих інтегрування , які визначаються за допомогою початкових умов.

Таким чином, задача розв’язку диференційного рівняння ставиться так: потрібно знайти функцію для рівняння, що задовольняє додатковим умовам, які полягають в тому, що примаємо значення.

Така задача називається задачею Коші.

В випадку рівняння першого порядку маємо задачу Коші для рівняння прита(або).

Геометрично така задача полягає в тому, що із всієї множини інтегральних кривих ми вибираємо лише ту, яка проходить через точку .

Методи точного інтегрування диференційних рівнянь можуть бути застосовані лише для порівняно невеликої частини рівнянь, що зустрічаються на практиці. Тому, як правило, при розрахунках на комп’ютері застосовуються наближені методи розв’язку диференційних рівнянь. Розглянемо деякі з них.