10.6. Транспортна задача

10.6.1. Постановка задачі

Деякий однорідний продукт, скупчений у постачальниківв кількостіодиниць, потрібно доставитиспоживачамв кількостіодиниць. Відома вартістьперевозки одиниці вантажа віді-го постачальника до j-го споживача.

Необхідно скласти план перевозок, що здійснить вивезення всіх вантажів, повністю задовольнить потреби споживачів і буде мати найменшу вартість.

Поставлену задачу можна представити такою таблицею:

Представимо модель такої задачі.

Цільова функція:

[10.5]

Система обмежень випливає із умови:

1. всі вантажі повинні бути вивезені: [10.6]

2. всі потреби повинні бути забезпечені: ; [10.7]

3. перевозки повинні бути реальними .

Модель транспортної задачі, у якої називаєтьсязакритою. Саме таку задачу ми і розглянемо.

Розглянемо систему обмежень [10.6] та [10.7]. Вона має рівнянь таневідомих. Якщо почленно скласти [10.6] та [10.7], то одержимо два однакових рівняння. Це вказує на те, що система обмежень лінійно залежна. Щоб з неї одержати лінійно незалежну систему, потрібно відкинути одне рівняння. Тому невироджений опорний план транспортної задачі маєдодатніх перевозок. Тобто в матриці плану повинно бутиклітинок, що зайняті перевозками.

Опірність плану полягає в його ациклічності, тобто в тому, що в таблиці не можна побудувати замкнутий цикл. Побудову циклу починають з будь-якої заповненої клітинки, переходять по рядку (стовпцю) до іншої заповненої клітинки, в якій роблять поворот на 90° і рухаються до іншої заповненої клітинки і т.д., намагаючись повернутися в початкову клітинку. Якщо таке повернення можливе, одержуємо цикл і план не являється опорним; його можна зоптимізувати.

Розглянемо ряд простих методів побудови первісного опорного плану.

10.6.2. Метод північно-західного кута

Не звертаючи уваги на вартість перевозок, починають задовольнять потреби за рахунок. Клітинкузаповнюють величиною. Остачупереносять в клітинку, якщоабо в, якщо. Процес продовжуємо допоки всі рядки і стовпці не будуть заповненими. Покажемо метод на прикладі такої задачі:

В таблиці заповнено 8 клітинок. Отже, план не вироджений.

Так як в процесі вартості перевозок не враховувались, то зрозуміло, що план далекий від оптимального:

10.6.3. Метод найменшої вартості

Метод полягає в тому, що із усієї таблиці вибирають клітинку з найменшою вартістю перевозок і розміщують в ній менше із або. Після цього із подальшого розгляду виключають або рядок, якщо використані запаси, або стовпець, якщо забезпечений споживач. Якщо, виключають і рядок і стовпець.

Із частини таблиці, що залишилась знову вибирають найменшу вартість і так продовжують до повного заповнення таблиці:

.

Як бачимо, план ближчий до оптимального.

10.6.4. Метод подвійної переваги

Якщо таблиця велика, то реалізація попереднього методу ускладнюється. В цьому випадку використовують метод подвійної переваги. В кожному стовпці ставлять мітку в клітинку з найменшою вартістю. Те ж саме роблять і по рядкам. В клітинки з двома мітками розміщують по можливості більші перевозки, кожного разу виключаючи із розгляду відповідні рядки і стовпці. Потім розподіляють перевозки по клітинкам з одною міткою. В решту клітинок розміщують перевозки по найменшій вартості.

.

10.6.5. Метод потенціалів оптимізації опорного плану.

Якщо план транспортної задачі оптимальний, то йому відповідає система ізчиселта, що задовольняють умовам:

1) , для;

2) , для[10.8]

Числа таназиваютьсяпотенціалами відповідно постачальників і споживачів.

Якщо хоч би одна не занята клітинка не задовольняє [10.8], то опорний план не оптимальний і його можна покращити, введенням в цю клітинку перевозку.

За первісний приймемо план одержаний методом найменшої вартості:

Так як маємо лише 7 заповнених комірок таблиці (), то план являється виродженим – рівнянь на одне менше, ніж невідомих. Тому придамо перевозцінульове значення.

Приймемо і по заштрихованим коміркам проведемо розрахунок значень потенціалів:

Після перевірки умови у вільних комірках опинилися з порушенням умови клітинкиТому включимо в базис комірку, в якій таке порушення найбільше, тобто в цю клітинку потрібно зробити занятою перевозкою. Для цього будуємо цикл (позначено пунктирною лінією). Із комірок, де стоять знаки «мінус» вибираємо найменше.

В комірку внесемо нульову перевозку. Подальші перетворення таблиць подаються без коментарів.

.

.

Одержали оптимальний базис .

Одержання розв’язку транспортної задачі в ЕТ Excel здійснюється по тій же технології, що і для симплекс-методу.

ПРИКЛАД