Функції rkfixed, Bulstoer таRkadapt

Графічна інтерпретація розв’язку

9.5. Завдання до виконання роботи

Вибрати завдання відповідно до свого варіанту та розв’язати диференційне рівняння такими способами:

1. За допомогою методу Ейлера.

2. За допомогою методу Рунге-Кута.

3. Розв’язати диференційні рівняння за допомогою інструментарію MathCad.

Варіанти завдань

Таблиця 17

№ вар	Диф. рівняння	[a, b]	Y0(0)	№ вар	Диф. рівняння	[a, b]	Y0(0)
		[0;0,5]	0	14.		[2;3]	2
		[0;0,6]	0	15.		[3;4]	1
		[0;1]	0	16.		[4;5]	0
		[0;0,5]	0	17.		[1;2]	0.1
		[0;0,6]	0	18.		[0;1]	0
		[0;1]	0	19.		[0;1]	0
		[0;0,6]	0	20.		[0;1]	1
		[0;1]	0	21.		[0;1]	0
		[0;0,5]	0	22.		[0;1]	1
		[0;1]	1	23.		[1;2]	0
		[0;1]	0	24.		[0;2]	0
		[0;1]	0	25.		[0;5]	1
		[2;3]	1	26.		[1;2]	0

9.6. Питання для самоконтролю

1. Що таке диференційне рівняння?

2. Яке диференційне рівняння називається звичайним?

3. Диференційне рівняння в частинних похідних.

4. Що таке порядок дифрівняння?

5. Що являється розв’язком диференційного рівняння?

6. Що таке інтегральна крива дифрівняння?

7. Загальний розв’язок дифрівняння.

8. Частинний розв’язок дифрівняння.

9. Яка задача є задачею Коші?

10. В чому полягає метод Ейлера?

11. В чому полягає метод Рунге-Кутта?

12. Як використати функцію odesolve для розв’язку диференційного рівняння?

13. Вмонтована функція rkfixed.

14. Вмонтована функція Bulstoer.

15. Вмонтована функція Rkadapt.

Тема 10. Чисельні методи оптимізації

10.1. Постановка задачі

Задача оптимізації  одна із найважливіших задач, що зустрічаються в практиці наукових, інженерних та економічних досліджень теоретичного та прикладного характеру.

Проблеми оптимізації виникають:

• під час керування різними технологічними процесами, агрегатами, установками, де потрібно досягти максимальної продуктивності праці за умови найкращої якості та мінімальних затрат;

• під час проектування різних інженерних конструкцій, пристроїв, схем, коли потрібно підібрати таку комбінацію їх параметрів, яка б за мінімальної матеріаломісткості відповідала б найкращим експлуатаційним характеристикам проектованого об’єкта;

• під час створення нових зразків продукції, коли синтезуються хімічні сполуки з найкращими заданими якостями тощо.

При постановці задачі оптимізації, система оптимізації замінюється її моделлю (рисунок 34).

Рисунок 34 – Модель технічної системи

Така модель має параметри , зазнаєзовнішніх впливів , підкоряється керуючим діямта має характеристики режима, які залежать від. Одна із характеристик режима називається критерієм оптимальності. Задача оптимізації полягає в тому, щоб вибрати такі керуючи дії , при яких критерій оптимальності давав би екстремальні значення (max або min). Характеристику ще називають цільовою функцією.

В задачах конструювання оптимізуються параметри системи , а в діючих об’єктах і процесах оптимізуются характеристики режиму.

В багатьох прикладних задачах вибір параметрів системи не може бути довільним. В зв’язку з цим задачі оптимізації поділяються на 2 типи: безумовні та умовні.

Безумовні задачі – це задачі без обмежень на змінні . Розв’язання їх полягає в знаходженні екстремуму цільової функції, що найчастіше реалізується класичними методами математичного аналізу (спуск, по антиградієнту, найшвидший спуск, випадковий спуск, спуск по антиградієнту з оптимізацією кроку та інші).

В умовних задачах оптимізації на змінні накладається обмеження в вигляді рівностей або нерівностей, що встановлюються із фізичних міркувань. Кожне обмеження ділить простір на допустимі і недопустимі підпростори. Та множина точокn-вимірного простору, яка задовольняє обмеження задачі, називається областю допустимих розв’язків.

Залежно від виду цільової функції та функції обмежень розрізняють задачі лінійного, нелінійного, динамічного, стохастичного програмування.

Класична задача отримання оптимальних планів зводиться до такого:

1. задана деяка функція (10.1)

для якої потрібно знайти максимум (мінімум);

2. множина параметрів системи Х задається з допомогою системи рівнянь та нерівностей; (10.2)

Такі задачі або не розв’язуються класичними методами взагалі, або застосування їх приводить до дуже великої трудоємності. Їх розв’язок здійснюється методами математичного програмування. Якщо (10.1) – лінійна функція, то це робиться засобами лінійного програмування. Якщо (10.1) або (10.2) мають нелінійності, то такі задачі розв’язуються методами динамічного програмування.

Якщо розв’язок такої задачі потребує цілих значень Х, для їх отримання застосовують дискретне програмування.

Інколи при створенні математичної моделі необхідно врахувати ряд невизначених факторів. В цьому випадку застосовують методи стохастичного програмування.